海仑公式的简捷证明

费尔马1

海仑公式的简捷证明
海仑公式：三角形的面积S=[p(p-a)(p-b)(p-c)]^(1/2)
其中，a、b、c为三角形的三条边，p=（a+b+c）/2
证明：三角形的正弦面积公式 S=(bc* sinA)/2，
将此式两边平方得 S^2=(1/4)b^2*c^2*(sinA)^2………………（1）
由（sinA）^2+(cosA）^2=1
得（sinA）^2=1-(cosA）^2…………………………………………（2）
据余弦定理得
cosA=（b^2+c^2-a^2）/(2bc)
（sinA）^2=1-(cosA）^2=1-[（b^2+c^2-a^2）/(2bc)]^2=
=[4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2）^2]/(4b^2c^2)………………（3）
把（3）代入（1）得
S^2=(1/16)[(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2）^2]
S^2=(1/16)(2bc+b^2+c^2-a^2)(2bc-b^2-c^2+a^2）
S^2=(1/16)[(b+c)^2-a^2][a^2-(b-c)^2]
S^2=(1/16)(b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)
S^2=(a+b+c)/2 *(a+b+c-2a)/2 *(a+b+c-2c)/2 *(a+b+c-2b)/2
S^2=(a+b+c)/2 *[(a+b+c)/2 -a)]*[(a+b+c)/2 -b)]*[(a+b+c)/2 -c)]…………（4）
令p=（a+b+c）/2，把（4）式两边开平方得
S=[p(p-a)(p-b)(p-c)]^(1/2)

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