四两拨千斤——“定向”勾股数通解式的无限变通

费尔马1

以下面这个题为例
解函数不定方程A^（16n+2）+B^（16n+6）=C^（16n+10）
求出此不定方程的正整数通解式？
其中一个答案是：
A=2^(8n^2+7n+1)*u*v*[u^(16n+2)-v^(16n+2)]^[(64n^2+64n+15)k+16n^2+18n+5]*[u^(16n+2)+v^(16n+2)]^[(64n^2+64n+15)k+40n^2+39n+9]
B=2^(8n^2+5n)*[u^(16n+2)-v^(16n+2)]^[(64n^2+48n+5)k+16n^2+14n+2]*[u^(16n+2)+v^(16n+2)]^[(64n^2+48n+5)k+40n^2+29n+3]
C=2^(8n^2+3n)*[u^(16n+2)-v^(16n+2)]^[(64n^2+32n+3)k+16n^2+10n+1]*[u^(16n+2)+v^(16n+2)]^[(64n^2+32n+3)k+40n^2+19n+2]
其中，n、k为0或正整数，u、v为正整数，u>v。
这个函数不定方程式为A^（16n+2）+B^（16n+6）=C^（16n+10）
由于式中n为任意正整数，所以把n换成n^2也可以，
函数不定方程式为A^（16n^2+2）+B^（16n^2+6）=C^（16n^2+10）
把上面题的解中的n换成n^2得解集通式：
解函数不定方程A^（16n^2+2）+B^（16n^2+6）=C^（16n^2+10）
求出此不定方程的正整数通解式？
其中一个答案是：
A=2^(8n^4+7n^2+1)*u*v*[u^(16n^2+2)-v^(16n^2+2)]^[(64n^4+64n^2+15)k+16n^4+18n^2+5]*[u^(16n^2+2)+v^(16n^2+2)]^[(64n^4+64n^2+15)k+40n^4+39n^2+9]
B=2^(8n^4+5n^2)*[u^(16n^2+2)-v^(16n^2+2)]^[(64n^4+48n^2+5)k+16n^4+14n^2+2]*[u^(16n^2+2)+v^(16n^2+2)]^[(64n^4+48n^2+5)k+40n^4+29n^2+3]
C=2^(8n^4+3n^2)*[u^(16n^2+2)-v^(16n^2+2)]^[(64n^4+32n^2+3)k+16n^4+10n^2+1]*[u^(16n^2+2)+v^(16n^2+2)]^[(64n^4+32n^2+3)k+40n^4+19n^2+2]
其中，n、k为0或正整数，u、v为正整数，u>v。
其实，可以把n换成任意一个单项式，得到变化万千的函数方程。例，可以把n换成n^3、n^4……，11n、11×13n……

费尔马1

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费尔马1

注：对于所有函数不定方程式都可以有类似楼上的无限变通。

费尔马1

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费尔马1

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