三角形全等命题之 ASS 成立的几种情况

luyuanhong

三角形全等命题之 ASS 成立的几种情况

作者 | 刘瑞祥

来源 |《数学赏析》

提要：一般来说，三角形全等命题包括所谓的“边角边（SAS）”、“边边边（SSS）”、“角边角（ASA）”及“角角边（AAS）”，并不包括“角边边（ASS）”，但是在某些特殊情况下“角边边”也可能成立，比如直角三角形的“斜边直角边（HL）”。值得注意的是，有些对于 HL 的证明利用到了勾股定理，这是不正确的。

早在两千多年以前的古希腊，欧几里得的《原本》就证明了三角形全等命题“边角边”、“边边边”、“角边角”及“角角边”，它们分别是《原本》第一卷的命题 4 、命题 8 、命题 26 。值得注意的是，无论是直接还是间接，这些命题都没有用到平行公设（即所谓的第五公设）。比如在命题 26 中，角角边并不是角边角的直接推论，尽管这样一来证明会简洁得多，但这需要用到所有三角形内角和均相等，于是会间接用到平行公设。这说明，全等命题无须平行公设。

众所周知，一般情况下“角边边”并不成立，这可以从下面的图中看出：



但是在某些特殊情况下呢？下面我们先来证明一个引理：三角形外角大于不相邻的内角。这个引理是《原本》第一卷的命题 16 ：

设 ABC 是一个三角形，延长边 BC 到点 D 。则可证外角 ACD 大于内角 CBA 、BAC 中的任一个。



设 AC 被二等分于点 E ，连接 BE 并延长到点 F ，使 BE 等于 EF 。连接 FC ，延长 AC 到 G 。

那么，因为 AE 等于 EC ，BE 等于 EF ，两边 AE 、EB 分别等于两边 CE 、EF ，又角 AEB 等于角 FEC ，因为它们是对顶角。

所以，底 AB 等于底 FC ，且三角形 ABE 全等于三角形 CFE ，余下的角也分别等于余下的角，即等边所对的角。（边角边）

所以，角 BAE 等于角 ECF 。

但是，角 ECD 大于角 ECF 。所以，角 ACD 大于角 BAE 。
　　
这个命题有一个重要的推论，那就是：三角形的两个内角的和小于二倍直角。这就是《原本》第一卷的命题 17 。
　　
请注意，前面的证明始终没有用到平行公设。
　　
下面我们在其它三角形全等命题以及前面引理的基础上来研究角边边。先来看斜边直角边命题。
　　
已知三角形 ABC 和 DEF 中，角 A 和角 D 都是直角，AC 等于 DF ，BC 等于 EF ，求证两个三角形全等。



要证明这两个三角形全等，只需要证明角 ACB 等于角 F 。如果不是这样，则其中一个较大，不妨设 ACB 较大，在三角形 ACB 内作角 ACG 等于角 F 。（用到边边边定理）

则角 A 等于角 D ，因为二者是直角，【公设 4 】

又因为 AC 等于 FD ，角 ACG 等于角 F ，所以三角形 ACG 全等于三角形 DFE 。（用到角边角定理）

即边 CG 等于边 FE 。

又因为 BC 等于 FE ，则 BC 等于 GC 。所以，角 B 等于角 CGB 。

因为角 CGA 是三角形 ABG 的外角，所以角 CGA 大于角 CBA 。（参见引理）

所以，角 CGA 大于角 CGB 。

又因为角 CGA 与角 CGB 的和等于二倍直角，所以角 CGA 大于直角。

而角 A 是直角，又角 CGA 大于直角，所以三角形 ACG 的两个内角的和大于二倍直角：这是不可能的。（参见引理的推论）

所以，角 ACB 等于角 F 。

又，直角 A 等于直角 D ，边 AC 等于 DF ，所以三角形 ABC 和 DEF 全等。（用到角边角定理）

网络上的一些证明用勾股定理来证明 BC 等于 EF ，然后应用边边边定理证明全等，这是不够好的，因为勾股定理是平行公设的推论，这样一来其证明的适用性就变小了。

在前面证明过的“斜边直角边”的基础上，我们可以证明，如果已知的一对相等角是钝角，命题也是成立的。

若两个三角形 ABC 和 DEF ，角 A 等于角 D ，AC 等于 DF ，BC 等于 EF ，且角 A 和角 D 都是钝角，则这两个三角形全等。



过 C、F 向对边作高线 CG 、FH ，容易知道点 G 落在 BA 的延长线上，否则三角形 ACG 的两个内角 BAC 和 CGA 一是直角，一是钝角，二者之和大于两个直角，这是不可能的。（这里用到引理的推论）

同理，点H也落在 ED 的延长线上。

因为角 BAC 和角 EDF 相等，所以角 CAG 和角 FDH 相等，又 CA 等于 FD ，角 CGA 等于角 FHD ，二者都是直角，所以三角形 CGA 和三角形 FHD 全等，CG 等于 FH ，GA 等于 HD 。（用到角角边定理）

又 CB 等于 FE ，所以直角三角形 CGB 全等于三角形 FHE ，GB 等于 HE 。（用到斜边直角边）

所以 AB 等于 DE ，又因为 AC 等于 DF ，BC 等于 EF ，所以三角形 ABC 全等于三角形 DEF 。（用到边边边定理）
　　
如果所给的一对等角都是锐角，但分别是各自三角形内最大的，其它条件不变，则命题也成立。这是因为既然最大的角是锐角，那么三角形的其余内角也就是锐角，即两个三角形都是锐角三角形，再次利用引理可以证明三角形的高线 CG 和 FH 的垂足分别落在线段 AB 和 DE 的内部，其余证明过程和前面对于钝角情况的类似。

因为三角形的两个内角和不大于二倍直角，所以以上可以统一表述为：如果两个三角形有一组内角和两组边分别对应相等，且这组内角是各自三角形内最大的，则这两个三角形全等。

“角边边”还有其它情况吗？回顾本文开始所给的图，我们发现角 B 和角 E 一个是锐角一个是钝角，如果我们限制这两个角都是锐角或者都是钝角呢？显然，那就足以保证其全等了。这方面的证明和上面的类似，就不再重复。也许，角边边还有其它情况，就有赖于大家继续挖掘了。

王守恩

三角形全等命题之角边边情况分析。

\(把题目具体化：已知角(k),边(a),边(b)，求角(x),边(y),\)

\(解：不妨约定a>b，利用正弦定理，只有2种可能。\)

\((1),\frac{a}{\sin(k)}=\frac{b}{\sin(x)}=\frac{y}{\sin(k+x)}\)

\(k,a,b\ 可以是任意数，x,y\ 均有解。\)

\((2),\frac{a}{\sin(x)}=\frac{b}{\sin(k)}=\frac{y}{\sin(k+x)}\)

\(先要限制k<90^\circ，至于小多少，还得看\frac{a}{\sin(k)}=\frac{b}{\sin(x)}\)

\(有兴趣的朋友，可以找些数，琢磨琢磨。\)

\(2种可能，关键都是解\ x,后半部分\frac{y}{\sin(k+x)}可以撇开。\)