【答】点 (a,b) 在椭圆 x^2／4+y^2／3=1 上，求 2a+3b+4 的最大值与最小值之和

dodonaomikiki

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  \(           \ell:     y=-\frac{2x}{3}  +k \)
Insert   \(     (2cos\phi,   \sqrt{3}sin\phi) \)into   it
\(   \Longrightarrow      \sqrt{3}sin\phi=\frac{-2  \bullet  2cos\phi  }{3}+k\)

\begin{align*}

   Set:   sin\phi & =m\\
\sqrt{3}m&=\frac{-4}{3} \sqrt{1-m^2}+k\\
\frac{4}{3} \sqrt{1-m^2}&=k- \sqrt{3}m\\
\frac{16}{9} (1-m^2)&=k^2-2\sqrt{3}km+3m^2\\
(\frac{16}{9}    +3)m^2-2\sqrt{3}km+k^2-\frac{16}{9}&=0\\
\end{align*}


Cauz     \(         \Delta=0       \)
\(         \Longrightarrow  4\bullet  3k^2-4\bullet   \frac{43}{9}(  k^2 -\frac{16}{9})=0      \)
\(         \Longrightarrow    12k^2 -  \frac{172}{9}k^2+4   \bullet    \frac{43}{9} \bullet     \frac{16}{9}=0      \)
   \(        \frac{4  \bullet    16}{9\bullet   9}\bullet   43=    \frac{64}{9}\bullet   k^2      \)
  \(        \Longrightarrow      k=\frac{2\bullet 4   }{9}\bullet \sqrt{43} \bullet  \frac{3}{8}      \)
\(        =\frac{  \sqrt{43} }{3}      \)


\(    \Longrightarrow     \ell:  \frac{2x}{3} +y- k=0      \)
\(    d_{max}=\frac{ \frac{  \sqrt{43} }{3}     }     { \frac{4}{9}   +1}=\frac{9}{13}  \bullet     \frac{  \sqrt{43} }{3}        \)
\(    =  \frac{  3\sqrt{43} }{13}        \)