有关张益唐攻克的朗道-西格尔零点猜想

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有关张益唐攻克的朗道-西格尔零点猜想

2022-11-7 22:52 |个人分类:系列科普|系统分类:科普集锦

作者：张天蓉

最近网上热传美籍华裔数学家张益唐宣布的一个消息：据说他已经攻克了与黎曼猜想相关的朗道-西格尔零点猜想。这个消息引起了数学界的震动。因为我之前曾经介绍过黎曼猜想、哥德巴赫猜想，以及张益唐对孪生素数猜想的工作，此文便结合朗道-西格尔猜想，简要总结一下这几个“数论”猜想的来龙去脉以及它们之间的关系。

素数是数论的研究对象，指的是只能被 1 和它自身整除的大于1的自然数。素数有无限多吗？分布情况如何？这些貌似简单的素数问题对数学家而言却魅力无穷。并且，这些简单问题牵涉甚广，素数分布问题的研究涉及到许多领域，推进了数学研究多方面的发展。

1，素数无限多吗？

首先列出几个后面要用到的、与素数有关的简单结论。

欧几里得

有关素数的第一个猜想应该是两千三百多年前的欧几里得提出的“素数无限多”的命题。并且，欧几里得自己给出了最简单的证明，用的是反证法。此外，古希腊还有一个在 n 不大的情况下实用的埃氏筛法，可以简单地把不大于根号 n 的所有素数的倍数剔除，从而“筛出”自然数 n 以内的全部素数，见下图。


图 1 ：a）证明“素数无穷多”的反证法；b）埃氏筛法（n=18）

欧拉乘积公式

欧几里得之后差不多过了两千年，伟大的数学家欧拉（1707-1783）对素数问题作了很多工作，包括证明素数无限多，研究与素数分布相关的种种问题。例如，欧拉曾经研究如下的无穷级数：

（1）

这个级数实际上是 s 的函数，后来被称为 ζ 函数。欧拉一开始自然先考虑 s 为正整数的情况：当 s=1 时，得到的是我们熟悉的不收敛的调和级数；如 s＞1 ，级数收敛，比如：s=2 ，是欧拉解决的巴塞尔级数，无限项求和结果是 π^2/6 。

欧拉固然是天才，他将调和级数的发散性与“素数无限多”的问题联系起来！欧拉得到一个惊人的结论：所有素数的倒数之和，类似于调和级数一样地发散。

（2）

欧拉证明了上面的结果，也就证明了“素数无限多”，因为有限的序列之和不可能发散。

由此开始，欧拉通过研究 ζ 函数来研究质数，居然得到两者的神奇关系：ζ 函数等于一个与所有质数相关的乘积！欧拉得到下面这个看起来有点奇怪的“欧拉乘积公式”：

（3）

等式左边的符号是与自然数 n 的幂次倒数有关的无穷求和，而右边的符号是遍历所有素数 p 的一个无穷乘积。这个公式通过复数 s ，将自然数 n（n=1，2，3，4，5 等）与素数 p（p=2，3，5，7，11 等）联系起来。

从欧拉乘积公式，也可以间接地证明存在无穷多个素数。

素数定理

如上所述，已有多种方法证明素数有无穷多个。但是，素数的出现规律却一直困惑着数学家。一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。



我们对付素数最笨的办法就是把它们从小到大一个一个列出来，如上图所示，列出了比 100 小的所有素数，的确看不出什么规律。然后，我们又想出一个笨主意：计数！数数看小于某一个数的素数有多少个？例如：小于 10 的素数有 4 个；小于 20 的素数有 8 个；小于 50 的素数有 15 个……

于是，数学家为此定义了一个函数，叫做素数计数函数，记作 π(x) ，也就是说：π(10)=4 ；π(20)=8 等等，可以一直估算下去。更进一步，可以把函数的图像画出来：


图 2 ：素数计数函数

从 π(x) 的函数图，倒是研究出了一些素数个数增长的整体规律，称为“素数定理”：

  （4）

上式是素数定理的粗略表达式。其中 lnx 为 x 的自然对数，公式的意思是当 x 趋近无限，π(x) 与 x/lnx 的比值趋近 1 。但这不表示它们的数值随着 x 增大而接近。

素数分布的 lnx 倒数形式首先由欧拉猜想，勒让德最后得到素数定理。50 年后，高斯在一封信中说他在少年时代就猜出了这个结果，所以素数定理也叫勒让德-高斯定理。

2，黎曼猜想

高斯比欧拉要晚生 70 年，黎曼（1826－1866）是高斯的学生，可惜早逝于 39 岁，他思想深刻成果累累。据说当年高斯想试试黎曼到底有多聪明，让他从分析转做几何，没想到黎曼一上手便出人意料地创立了黎曼几何。之后，黎曼又继续欧拉没有完成的 ζ 函数研究素数问题。

黎曼首先将欧拉的 ζ 函数（1）解析延拓到几乎整个复平面（除了 s=1 ）。解析延拓的意思就是说将函数的定义域解析地扩大到原来不能应用的数域，即对所有的复数 s ，ζ 函数都有定义，在 s 等于 1 的地方有一个不解析的、留数等于 1 的简单极点。解析延拓后的 ζ 函数叫做“黎曼 ζ 函数”。

黎曼 ζ 函数与素数有直接联系，根据欧拉乘积公式（3），当实部大于 1 时，它是一系列自然数幂次的倒数和，同时又是与所有素数有关的某种乘积。因此，通过对黎曼 ζ 函数的研究会得到很多素数方面的信息。例如素数定理（4），就是在 1896 年通过对黎曼 ζ 函数的研究而第一次被证明的。（注：之后 1949 年有人给出不用黎曼 ζ 函数的初等证明）。关于素数更精确的信息在于进一步对黎曼 ζ 函数零点的研究。

黎曼发现素数出现的频率与黎曼 ζ 函数的零点分布紧密相关。因此，黎曼研究 ζ 函数的零点分布。

1859 年黎曼当选为柏林科学院通讯院士，他提交八页纸论文回应：《论小于某值的素数个数》，在文章中提出了黎曼猜想。这个猜想是数论中与素数相关至今未解的重要难题。


图 3 ：黎曼 ζ 函数，将欧拉 ζ 函数解析延拓到整个复数平面

解析延拓后的黎曼 ζ 函数，不能完全由公式（1）描述，例如，在某些区域，可以用：

（5）

黎曼注意到 ζ 函数的零点有两种。当 s=-2、-4、-6、-8 …（负偶数）时，是零，【很容易从（5）看出】，这些是平凡零点。黎曼称其他零点为非平凡零点，素数频率与非平凡零点有关。非平凡零点到底在哪里呢？这个问题如此复杂，黎曼也没有准确的结论，因此他提出如下的“黎曼猜想”却没有证明。

黎曼猜想：所有的这些非平凡零点都在实部等于二分之一的那条垂直线上。

貌似轻松平淡的一个猜想，令无数数学家们努力到如今，已经 163 年过去仍未解决，但也有所进展。从进展过程能看出这个问题的重要性、黎曼的深厚功夫和超凡的能力

黎曼论文有三个命题。1，非平凡零点实部大于 0 但小于 1 ；2，所有非平凡零点几乎都位于实部为 1/2 的直线上；3，黎曼 ζ 函数的所有非平凡零点都位于实部为 1/2 的直线上。

数学家 46 年后才对黎曼认为显而易见的第一命题给出证明；黎曼表示自己证明了第二命题，但没有简化到可以发表，然而迄今为止，第二第三命题都没有被证明出来；人们也试图寻找具体的非平凡零点，仍然十分困难。猜想公布 44 年后，数学家第一次算出了前 15 个非平凡零点，又过了 20 年，算出了前 138 个零点，数学家西格尔在黎曼手稿中发现了 73 年前黎曼计算非平凡零点的一个公式（黎曼-西格尔公式）。西格尔找到这个公式后，4 年内算出了 1000 多个非平凡零点。现在，数学家用这公式及计算机，验证了超过前 200 亿个非平凡零点。迄今找到的所有零点，实部全部都是 0.5 ，无一例外。

3，张益唐和孪生素数猜想

张益唐最近宣称的进展，便与上述的黎曼猜想密切相关。在介绍他在黎曼猜想的工作之前，先介绍他几年前有所突破的另一个素数问题：孪生素数猜想。

什么叫孪生素数？就是两个素数相差 2 ，例如 3 和 5 ；5 和 7 等等，两千年前的欧几里得就证明了素数的个数是无穷多，同时，欧几里得也思考：孪生素数是否也有无穷多呢？欧几里得猜想是无穷多，但他没有给出证明，这就是孪生素数猜想！

“有无穷个素数对 (p1, p2) ，满足 p1-p2=2 ”


图 4 ：孪生素数猜想

张益唐是曾在中国受数学教育的美籍华人，他迷恋素数卓尔不群、横空出世一鸣惊人。张益唐的学术道路坎坷成为传奇，博士毕业后未得教职，打工七年历经艰辛：送外卖端盘子也做过会计，最后在一个小学校教数学方能挣口饭吃，唯有满脑袋的奇思妙想不忘初心探索孪生素数问题。58 岁时终于大器晚成作出重大成绩“十年窗下无人问，一举成名天下知”。

张益唐并没有完全解决孪生素数猜想，他证明了什么呢？为了理解张益唐的结果，首先，可以把孪生素数猜想写成：“存在无穷多个差值等于 2 的素数对”；

而张益唐证明的是：“存在无穷多个差值小于 7000 万的素数对”。

也就是说，张益唐证明的是比原来猜想更 “弱”一点的命题。原来命题中的差距是 2 ，但这个差距可以放宽，比如将间隔放宽到 4 ，或者 100 ，1000 。张益唐的工作意味着：如果将间隔放宽到 7000 万，他就证明出来了。然后呢？然后可以再减小间隔缩小包围圈，如果能一直缩到 2 ，就证明了原来的猜想！

以上是这种方法的思路。不过，比较一下这两个结论，你可能感到吃惊：7000 万 vs 2 ，还差十万八千里呢！

的确如此，但在张益唐这个结论之前，这个问题还没有上限，即上限是无限大。而张益唐将无限大用有限数 7000 万代替，是里程碑式的进步。后来，陶哲轩等将此上限不断降低，张益唐提交证明之后，上限已降至 246 。

4，狄利克雷 L 函数

除了研究自然数中的素数分布之外，也有数学家研究算术（等差）级数中包含的素数。因为大于 2 的素数都是奇数，所以，等差数列 {1+2k ，k=1, 2, 3…} 中包括了除了 2 之外的所有素数，换言之，上面等差数列中包含了无穷多个素数。德国数学家狄利克雷（1805—1859）的“狄利克雷定理”，说的就是关于算术级数中的素数问题。狄利克雷最早将解析的方法用于解决数论问题，称为解析数论。狄利克雷等在解析数论领域，发展了一整套工具去研究某些函数的零点问题，应用于哥德巴赫猜想、孪生素数猜想等，也用于关于素数分布等问题上。为了证明“狄利克雷定理”，狄利克雷 1837 年引进了狄利克雷 L 函数。

狄利克雷 L 函数可以看作是黎曼 ζ 函数的推广：



比较黎曼 ζ 函数而言，狄利克雷 L 函数将求和中的每一项都乘了一个 χ(n) ，称为狄利克雷特征。

狄利克雷特征 χ(n) 有下列性质：

1， 存在正整数 k 使得对于任意 n 都有 χ(n) = χ(n+k) ；

2， 对于任意 m,n ，χ(mn) = χ(m) χ(n) ；

3， χ(1)=1 。

第一条说明 χ(n) 是以 k 为周期循环的；第二条说明它是积性函数；第三条给出的 χ(1)=1 时，狄利克雷 L 函数成为黎曼 ζ 函数，保证了 L 函数的确是 ζ 函数的推广。用更为通俗的话来说：满足这三条性质的狄利克雷特征是一组函数 χ(n) ，函数的定义域是自然数，值域可以被限制在只有三种可能： 0，1 和 -1 。

因此，狄利克雷 L 函数与黎曼 ζ 函数不同的是，后者是一个函数，前者是一组（可以有无穷多个）函数，其中的一个特殊情况：狄利克雷特征全为 1 时，便简化为黎曼 ζ 函数。黎曼函数是狄利克雷 L 函数的特殊情况，也是最简单的一个情况。

狄利克雷 L 函数与黎曼 ζ 函数许多方面相似，可以互相对应。比如，狄利克雷 L 函数的零点也有平凡与非平凡之分，非平凡零点也全都位 于0＜Re(s)＜1 的带状区域（即临界带）内。对应于黎曼 ζ 函数的黎曼猜想，对应地便有狄利克雷 L 函数的广义黎曼猜想。

5，广义黎曼猜想

由于狄利克雷L函数是黎曼 ζ 函数的推广，因此广义黎曼猜想显然是黎曼猜想的推广。

黎曼猜想：黎曼 ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s) = 1/2 的直线上。

广义黎曼猜想：狄利克雷 L 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s) = 1/2 的直线上。

如果证明了广义黎曼猜想，也就证明了黎曼猜想，反过来不成立。

原来对 ζ 函数的欧拉乘积公式（3）：

                        

对狄利克雷 L 函数，应该写成：

  （6）

研究狄利克雷 L 函数的零点分布，不仅对于破解广义黎曼猜想和黎曼猜想有用，也可能对解决哥德巴赫猜想和孪生素数猜想等都有所帮助。

6，朗道-西格尔零点问题

黎曼猜想和广义黎曼猜想都尚未被证明，但大多数的数论学家都认为猜想是成立的，即 ζ 函数或 L 函数的所有非平凡零点都位于复平面上实部等于 1/2 的直线上。朗道（1877-1938）和西格尔（1896-1981），是两位德国数学家，朗道是西格尔的导师。他们对狄利克雷 L 函数的非平凡零点进行了深入的研究，发现满足特殊性质时其对应的 L 函数可能出现位置异常的零点，难以避免。位置异常的意思是说，这种可能的零点不是位于实部 1/2 的那条直线上，而是在非常靠近 1 的地方。这种零点就被称为朗道-西格尔零点（或西格尔零点）。不过，他们也证明了对于狄利克雷 L 函数，这样的零点顶多只有一个，实部很接近 1 。

也就是说，“朗道-西格尔零点”被定义为广义黎曼猜想的反例，而断言此类零点不存在的猜测就被称为朗道-西格尔猜想。

如果这个朗道-西格尔零点真存在的话，广义黎曼假设就错了，所以事实上，数学家们努力探索西格尔零点问题，就是企图证明这样一个零点不存在。

目前，张益唐的论文尚未上线，不知道他是证明了西格尔零点存在还是不存在？一般估计应该是不存在，否则就否定了广义黎曼猜测，实在太难以想象！当然，即使论文发表了，正确与否，能否得到同行的接受，还需要长长的审核时间。但不管结果朝向哪个方面，都将是令人兴奋值得期待的重大突破。

白新岭

张益唐的孪生素数猜想的推进，与陈景润哥德巴赫猜想的1+2，没有实质性区别，最后都是走到高高的悬崖边缘，不可在前进一丁点，假如向前微微的移动1点，则是万丈深渊。回头路更不能走，那预示着自己的放弃。
       所以，那种逐步缩小包围圈的做法，无异于把自己往死胡同里赛。再也，出不来。
孪生素数中项合成6n类数的数量公式：6∏\((1-{4\over(P-2)^2})\)∏\({P_i-2}\over{P_i-4}\)∏\({P_j-3}\over{P_j-4}\)\((孪中的个数)^2\over{6n}\),5≤P，0≡6n|\(P_i\),±2≡6n|\(P_j\)。6n是合成数。
        在所有6n类正整数中，有12个无解，它们的值都小于1万。
         另外，如果用孪生素数对中的素数和表示偶数的话，上述公式仍就使用，(6n-2)\(6n)\(6n+2)=1\2\1,同一组中偶数素数对的数量比，6n类型的正整数的素数对是孪中的2倍，同组的偶数与孪中表示组合数相同，这时，偶数共计有37个无解，都小于1万，就是孪中的12组*3+1=37个，1是偶数2，因为它没有组（不能划分到，6n-2,6n，6n+2的数组中）。

任在深

错错错！
错中错！
错上加错！
中国纯粹数学何处去？
世界数学又何处来？
唯有宇宙才明白！

ysr

通过网上查资料看到:欧拉乘积公式的这个证明过程是默认了素数是无穷多的，或者说由于素数是无穷多的，等式才成立呢。后来解析延拓为泽塔函数了。
解析数论那些公式暗含了或者说是默认了基础理论的定理，不能再用来证明如素数是无穷多的这样的定理了。
否则就是循环论证是荒谬的。

ysr

孪生素数猜想和哥德巴赫猜想的证明是简单的，是基础理论知识，不能用解析数论的公式来推导和证明，那些所谓的引理和方法，是以这些基础理论的定理为依据才成立的，这种方法是本末倒置的荒谬的。是不成功的没有价值的。
孪生素数猜想和哥德巴赫猜想是容易证明的，可以用多种方法证明，而且都是初等数论的知识。
素数是无穷多的，而且是越来越稀的，仅此一条就足以证明。
这一条定理其实就是素数的概念和性质决定的。专家承认并证明过了，不重复证明了。
如何证明孪生素数猜想和哥德巴赫猜想呢？
其实简单，素数的越来越稀是体现在某数内的最大素数间距是不断增大的。
只要相邻素数的差大于2就会产生孪生素数对，以及其他2生素数对。这就是充分条件是必然的。
而素数是越来越稀的就是某数内的最大间距是越来越大的，则大于2的间距是无穷多的。
那么孪生素数对就是无穷多的，其他2生素数对也是无穷多的。



产生差为2m的2生素数的充分条件（这个就是充分条件不是必要条件）：就是存在大于等于4的相邻素数，证明：
比如如下数列：
2n+1：        3，5，7，……
2n+2m+1：3+2m，5+2m，7+2m，……
对应项差为2m，对应项都是素数的话就是一对2生素数。设p1，p2为相邻素数，若p2-p1>=4，则在第二排数列的p2+2与3p2之间至少有一个素数与对应项构成2生素数，因为各素因子在每排数列中的一个周期内各占一个位置，2排数列就是占了二个位置，各素因子第一次出现的时候是以素数的身份出现的在p2的第一个周期是各素因子占位最多的情况，而在p2的第二个周期3和p2重复占位了，就产生了一个空缺，就必然产生一对2生素数，这是必然的。充分条件得证！
这和素数越来越稀不矛盾，因为2生素数对和孪生素数对是出现在p2以后的不是出现在p1和p2之间的。

ysr

孪生素数和其他2生素数对都是无穷多的，从而决定了差定理是成立的，那么哥德巴赫猜想也是远远成立的。
这都是基础理论，是真理是符合事实的定理。而且是可以用多种方法，用初等方法，严格证明的。
那些自称是唯一的证明大多是有问题甚至可能是不对的。
而坚持啥非解析数论才能证明的人则是不对的，是武断的混蛋！

ysr

黎曼猜想是与黎曼弄出来的某数内的素数个数精确公式是紧密联系的，这个精确的素数个数公式是没有误差的吗？不知道，如果有误差是正误差还是负误差呢？不知道。在没有证明前，可以当做经验公式用，需要的话完全可以用来计算某个有限的确定的数据内的素数个数，从而在实践中验证一下是否有误差是否正确。如果在可验证范围是正确的准确的，那也是有用的，有一定价值的即使没有达到无穷大也成立。
是否在无穷大时候也成立，那是需要证明的。要想证明黎曼猜想，还需要努力，甚至可能需要其他新知识。