求 x^2-9y-2√(z-4)+22=0，y^2-9z-2√(x-4)+22=0，z^2-9x-2√(y-4)+22=0 的所有实数解

dodonaomikiki

初级数学竞赛【方程组】



估计是初中的，不是高中的

时空伴随者

换元法，求得x=y=z=5

时空伴随者

\(令z-4=a^2,x-4=b^2,y-4=c^2\\ 则z=a^2+4,x=b^2+4,y=c^2+4\)
从而有
\((b^2+4)^2-9(c^2+4)-2a+22=0\\(c^2+4)^2-9(a^2+4)-2b+22=0\\(a^2+4)^2-9(b^2+4)-2c+22=0\)
三式相加整理得
\(a^4+b^4+c^4-a^2-b^2-c^2-2a-2b-2c+6=0\)
配完全平方得
\((a^2-1)^2+(b^2-1)^2+(c^2-1)^2+(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2=0\)
解得
\(a^2=a=1,b^2=b=1,c^2=c=1\)
回代得\(x=y=z=5\)

luyuanhong

楼上 时空伴随者 的解答很好！已收藏。