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证明 Riemann(黎曼)函数在无理点上连续,在有理点上间断中的两个问题

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发表于 2022-11-27 04:07 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 wufaxian 于 2022-12-10 08:30 编辑

《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文P128
问题见图中红字

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发表于 2022-11-27 08:29 | 显示全部楼层
因为 x=p/q∈[0,1] 是有理数,所以 p,q 都是非负整数。

由 R(x)=R(p/q)=1/q≥ε 可得 0≤p<q≤1/ε ,由于 ≤1/ε 的非负整数只有有限个,

可见这里的非负整数 p,q 只有有限个,因此满足 R(p/q)≥ε 的有理数 p/q 也只有有限个。
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 楼主| 发表于 2022-11-27 16:33 | 显示全部楼层
luyuanhong 发表于 2022-11-27 08:29
因为 x=p/q∈[0,1] 是有理数,所以 p,q 都是非负整数。

由 R(x)=R(p/q)=1/q≥ε 可得 0≤p<q≤1/ε , ...

谢谢lu老师讲解。
“ 由于 ≤1/ε 的非负整数只有有限个”
ε应该是任意小的非零实数吧,那1/ε就应该是一个很大的数。那么怎么会有“ ≤1/ε 的非负整数只有有限个”?应该是有无穷个才对啊!
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发表于 2022-11-27 17:54 | 显示全部楼层
证明 Riemann(黎曼)函数在无理点上连续,在有理点上间断中的两个问题

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发表于 2022-11-27 19:19 | 显示全部楼层
ε 是一个给定的小正数,比如说,可以令 ε=0.0001 ,这时 1/ε 是一个很大的数,

当 ε=0.0001 时,就有 1/ε=10000 ,尽管 1/ε 很大,但是 ≤1/ε 的非负整数还是

只有有限个,例如 ≤1/ε=10000 的非负整数就只有 0,1,2,…,10000 ,仍是有限个。
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 楼主| 发表于 2022-11-27 19:27 | 显示全部楼层
luyuanhong 发表于 2022-11-27 19:19
ε 是一个给定的小正数,比如说,可以令 ε=0.0001 ,这时 1/ε 是一个很大的数,

当 =0.0001 时,就有  ...

ε ξ 体系中ε 代表任意。那是否可以认为它就是一个无穷小的正实数呢?如果可以,那么1ε 不就是无穷大?就像1/x 当 x->0 他的极限是多少?
按照上面的思路≤1/ε 正整数就应该是无限的。

我的思路基本就卡在这个地方了。
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