彼得堡数学学派的中坚

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彼得堡数学学派的中坚

作者 | 刘钝（中国科学院自然科学史研究所）、苏淳（中国科学技术大学数学系）

来源 | 自然辩证法通讯，1986(04):46-58. 原标题《彼得堡数学学派的中坚——纪念 A.A.马尔科夫诞生一百三十周年》.

路标象栅栏似的闪过去，一个又一个愉悦你的眼。

——《叶甫盖尼·奥涅金》

在当代科学与社会的广阔天地里，人们都可以看到一种叫作随机过程的数学模型：从银河亮度的起伏到星系空间的物质分布、从分子的布朗运动到原子的蜕变过程，从化学反应动力学到电话通讯理论、从谣言的传播到传染病的流行、从市场预测到密码破译，随机过程理论及其应用几乎无所不在。人类历史上第一个从理论上提出并加以研究的过程模型是马尔科夫链，它是 20 世纪初俄国数学家安德烈·安德烈耶维奇·马尔科夫（Андрей Андреевич Маркв，1856—1922）的伟大创造。马尔科夫在数学上的贡献和他为科学与民主奋斗的一生，永远值得后人景仰。在他诞生一百三十年之际，仅以此文表示我们的纪念。


俄国数学家安德烈·安德烈耶维奇·马尔科夫

坎坷的早年

与莫斯科毗邻的梁赞是俄罗斯中部的森林基地和谷仓，苍绿的林海和金黄的麦田覆盖着广袤的大地，蜿蜒的奥卡河静静地流过省会梁赞市，给这座城市带来繁荣与生机。1856 年 6 月 14 日，马尔科夫出生在梁赞省林业厅一个六等文官的家庭。

这是一个旧式的小官吏家庭，老马尔科夫结过两次婚，共生育了五男四女，这一大家子的衣食温饱，像座山似的压在他瘦弱的肩上。然而命运多蹇，老实人在官场并不得意，后来遭人诬陷被迫辞职，一家人只好迁居彼得堡另谋生路，这一年马尔科夫刚满五岁。父亲在一个有钱的寡妇那里找到了一份差事，替他管理庄园并承办一个私人事务所。这时候马尔科夫不幸患了骨结核，膝盖肿得像面包一样，一条腿完全不能弯曲。但是他是个性格坚强的孩子，坚持每日拄拐行走，忍着剧痛活动僵直的关节。与病痛斗争的经历磨练了他的意志，不公平的命运萌发了他向困难抗争的勇气。十岁那年，经手术治疗他的腿疾好转，只是稍稍留下一点后遗症，但是这段生活在他心灵深处留下了终身难忘的印象。历史上有许多巧合，命运给彼得堡数学学派的两位大师安排了相似的童年［注①：马尔科夫的导师切比雪夫也是幼年腿残，参阅笔者的“彼得堡数学学派的奠基人”，《自然辨证法通讯》，1984 年第 6 卷第 6 期。又，中国的一对著名数学师徒华罗庚与陆启铿也都患有腿疾］。

中学时代开始了，马尔科夫被送到彼得堡第五中学。这是一所完全按照东正教的陈规旧俗治理的学校。学生们除了每天要连篇累牍背诵希腊和拉丁文精典外，还要不断举行各种祈祷和忏悔仪式。马尔科夫厌恶这种令人窒息的环境，除了数学以外，他对学校里的其它课程都没有兴趣。为此父亲常被校长招到学校，为他承受那些令人难堪的嘲讽和训斥。马尔科夫有两个姐姐也在这所学校读书，她们的经典和操行经常得到老师的表扬，唯独桀骜不驯的马尔科夫总是不能引起老师的好感。

如果以为马尔科夫仅仅迷恋数学那就错了，他也读了大量非数学内容的课外作品，但那既不是教师推荐的罗马编年史，也不是廉价的法国爱情小说，而是一些高年级学生偷偷带到学校里来的进步读物。十九世纪六十年代是俄国民主启蒙运动空前高涨的时期，车尔尼雪夫斯基（Н. Г. Чернышевский，1828—1889）、杜勃罗留波夫（Н. А. Добролюбов，1836—1861）、皮萨列夫（Д. И. Писарев，1840—1868）等人犀利的政论和生动的文学评论，像春风般地在青年学生中传播，马尔科夫从这些作品中汲取了力量，对沙皇专制和教会的思想统治充满怀疑。在一次文学课上，当老师布置学生们写一篇评论来分析《叶甫盖尼·奥涅金》的抒情风格后，马尔科夫交上了一篇皮萨列夫式的的书评，对普希金笔下的俄国社会进行了入木三分的分析。这一大胆妄为的举动忤犯了顽固守旧的教师，他在马尔科夫的作业上批道：“你过多地阅读了否认人间一切美好感情的作家的作品。”

马尔科夫的举动引起学校当局的注意，父亲被传唤的次数越来越多了，就在临近毕业的那个学期，危机终于爆发出来。在一次例行的祈祷仪式临近结束时，心不在焉的马尔科夫把《圣经》匆匆塞进口袋，只盼着赶快跑到庭院里去一吐胸中郁积的污浊之气，凶神恶煞般的学监突然出现在他面前，指责他破坏了宗教仪式的肃穆气氛。人群大哗，仪式收场，马尔科夫被带到校长室，被斥为无神论者和无政府主义分子，扬言要立即开除学籍。父亲闻讯赶来，再三赔礼道歉才算平息了这场风波。

丑小鸭不喜欢水草蔓生的池塘，因为那里不是它未来的天地。对于数学，马尔科夫却有着一种与生俱来的热情，他独立地学习了许多课外知识，数学水平远远超过了一般的高中学生。当别人还在为一元二次方程困惑不解的时候，他已在独自钻研微分方程了。有一次他发现自己找到了一种与教科书不同的常系数线性微分方程的解法，立即写信告诉了当时俄国最有资历的数学家布尼亚科夫斯基（В. Я. Буняковский，1804—1889），后者把信转给了自己的学生科尔金（А. Н. Коркин，1837—1908）和佐洛塔廖夫（Е. И. Золотарёв，1847—1878），他们很快给马尔科夫回了信，鼓励他投考彼得堡大学数学系，以数学作为自己终身的事业。尽管马尔科夫发现的解法已由别人先提出了，但是他的数学才能给两位学者留下深刻的印象。若干年后，他们成了马尔科夫的老师和同事。

1874 年，马尔科夫考入彼得堡大学数学系，从此脱离了那个令人压抑的环境，开始在绚丽多姿的数学王国自由呼吸。1878 年，马尔科夫以优异成绩毕业并留校任教，毕业论文《以连分数解微分方程》获得当年系里的金质奖；两年后他完成了《关于双正定二次型》的硕士论文，并正式给学生开课；又过了两年，他开始考虑《关于连分数的某些应用》的博士论文，于 1884 年正式通过答辩。

1883 年，马尔科夫与自幼相识的女友瓦里瓦契耶瓦娅（М. Н. Вальватьевая）结为伉俪，新娘的母亲就是老马尔科夫当年的雇主。大学时代的马尔科夫给读高中的瓦里瓦契耶瓦娅当过业余家庭教师，正是这种频繁的接触催开了这一对年轻人心中能过的爱情花朵。但是一开始，那位富孀是不赞成这门婚事的，因为她一想起那个在花园里拄杖踽踽独行的可怜孩子，以及经常使她的管家心绪不宁的桀骜少年，心里总有一种靠不住的感觉。最后，事实战胜了成见，面对这个事业上不断获得成功的青年助教，她最终还是同意了。

问津数论

对于一个决心把一生奉献给数学的年轻人来说，彼得堡大学具有足够的魅力：切比雪夫正在这里稳步地实施着建立一个俄罗斯数学学派的抱负，科尔金、佐洛塔廖夫、索霍茨基（Ю. Б. Сохоцкий，1842—1929）、波瑟（К. А. Поссе，1847—1928）也都正当盛年。马尔科夫的事业将从这里开始。他如饥似渴地向这些前辈们学习，很快熟悉了他们的风格和方法，成了这个数学团体中的一个新成员。当科尔金、佐洛塔廖夫在高年级学生中组织代数与数论讨论班时，他们毫不犹豫地把这个在中学时代就敢于向权威写信谈论自己发现的学生吸收进来。马尔科夫不负众望，他的第一项重要的数学工作，就是沿着科尔金和佐洛塔廖夫两人开辟的道路完成的。



在这项研究中，马尔科夫已表现出了切比雪夫等前辈学者的影响，那就是善于联系经典问题、充分利用初等工具、追求解的精确性与实用性，以及不畏繁复计算等后来堪称彼得堡学派的风格。这篇论文还附有一个包括前 20 个值计算程序与结果的大表，每一行数据对应着一个复杂的丢番图方程。甚至早期彼得堡数学家的一个缺点在这项研究中也有所反映，那就是完全排斥了几何背景，因为马尔科夫像切比雪夫一样怀疑几何语言的严密性。其实，在型表示轮中借用几何语言是最自然不过了。高斯关于三元二次型几何意义的说明被认为是闵可夫斯基（H. Minkowski，1864—1909）关于数的几何理论的开端，早期彼得堡数学家在这一领域可谓失之交臂。

不管怎末说，马尔科夫这项工作的完成，表现了他超乎常人的数学直觉和洞察力，这种能力加上坚韧不拔的毅力使他很快超过了许多老师和同辈，成为彼得堡数学学派的杰出代表和中坚分子。

双二次型最小值的分布搞清楚以后，马尔科夫开始注意多个变元的二次型，只是由于教务倥偬，直到 11 年后才发表了进一步的研究成果。1901 年，他在《关于不定三元二次型》中给出了该类型的前四种极值形式（其中一种也为科尔金得到）。1909 年，他汇集了自己关于三元二次型的成果，出版了包括所有判别式不大于 50 的三元二次型数据在内的专著。这些工作都是伴随着大量复杂的计算，马尔科夫不仅通过计算提供了问题的解，而且对于发展计算方法也做出了贡献。以后他又研究了四元二次型，并得到其极值的两种形式。



马尔科夫等人在代数数论中方面的工作，与切比雪夫在解析数论方面的工作一起，确立了彼得堡数学学派在数论领域的领先地位。但他并不以此为满足，而是很快把目标转向一系列更广泛的数学题材，特别是在古典分析领域作出了新的贡献。

涉足古典分析

古典分析是彼得堡数学家擅长的又一个领域，马尔科夫广泛涉猎了这一领域的若干分支：从矩的理论到积分运算，从函数逼近论到微分方程，从内插法到近似计算，处处都有他辛勤耕耘的足迹。而这一系列工作是从切比雪夫的一篇论文开始的。



马尔科夫在古典分析领域的工作，显示了扎实的基础和广博的知识，这对于继承和发展切比雪夫开创的事业来说是极为可贵的。从代数数论到古典分析，马尔科夫的一个主要目标就在于完善对于数学对象的估计。无论是二次型还是多项式，无论是积分还是导数，他都希望给出一个尽量精确的上、下限的表达式。当他后来把自己对积分界的估计用于概率论中古典极限定理的证明时，就引起这门科学面目的极大改观。

把概率论推进到现代的门槛

把概率论从频临衰亡的境地挽救出来，恢复其作为一门数学学科的地位，这是彼得堡数学学派作出的伟大贡献。切比雪夫、马尔科夫和李雅普诺夫（A. M. Ляпунов, 1875—1918）师生三人为此付出了艰辛的劳动，其中尤以马尔科夫的工作最多，据粗略统计，他生平发表的概率论方面的文章或专著共有 25 篇（部）之多［注④：切比雪夫和李雅普诺夫在概率论方面的论文各为 4 篇和 2 篇］。

大约从 1883 年起，马尔科夫就开始考虑概率论中的基本问题了。十九世纪的八、九十年代，他主要是沿着切比雪夫开创的方向，致力于独立随机变量和古典极限理论研究，从而改进和完善了大数定律和中心极限定理。进入二十世纪以后，他的兴趣转移到相依随机变量序列上来，并创立了使他名垂千古的那个概率模型。

概率论中的一个基本问题就是探索概率接近于 1 时的规律，特别是大量独立或弱相依因素累计结果发生的规律，大数定律就是研究这种规律的命题之一。1845 年，切比雪夫第一次严格证明了贝努利形式的大数定律，次年他又把结果拓广到泊松形式。在概率论门户萧条的年代里，切比雪夫的工作无疑起到振聋发聩的作用，但是由于处理手法不够完善，所得结果还是比较粗糙的。马尔科夫不满意切比雪夫要求随机变量的方差值一致有界的条件，经过努力找到两种更合理的条件，极大地推进了切比雪夫的结果。



至此矩方法获得了辉煌的胜利，但是出人意料的事发生了：1902 年春天，马尔科夫的一个低班校友、也是他最敬重的同事和强大竞争者李雅普诺夫，在哈尔科夫工作了 17 年后回到彼得堡。在此前的一、二年中，李雅普诺夫从一个全新的角度考察中心极限定理，引入特征函数这一有力工具，从而避免了矩方法要求高阶矩存在的苛刻条件，在相当宽的条件下证明了中心极限定理，而且通过特征函数实现了数学方法的革命，为这一定理的进一步精确化准备了条件。

与矩方法相比，特征函数方法显得更灵活、更具一般性。马尔科夫经常自我揶揄地说，李雅普诺夫这个玩笑开得太大了，言外之意好像是说师弟掘了自家的祖坟。其实他一直在暗中奋斗，以求恢复矩方法的声誉。经过八年的努力终于获得成功，在《关于概率极限的定理与李雅普诺夫院士商榷》一文中，马尔科夫创造了一种“截尾术”，即在适当的地方截断随机变量令其有界，这样就可以既不改变其和的极限分布，又能保证任意阶矩的存在。这一成果在方法论上的意义是巨大的，它不仅克服了特征函数法过分依赖独立性的弱点，开辟了通向非独立随机变量研究的道路，而且突破了特征函数仅适于弱极限理论范畴的限制，为强极限定理的发展提供了有力手段。应用这一技术，马尔科夫一举实现了精确论证中心极限定理的多年理想，他的研究成果被收入《概率演算》的第三版中。

马尔科夫和李雅普诺夫关于方法论的竞争，极大地丰富了 20 世纪初概率论的内容，对这门科学的现代化产生了深远影响。今天，“截尾术”已经与“对称化”“中心化”一起，成为现代极限理论中的三大技术，它们与特征函数方法一道，在这一领域发挥着难以估量的作用。



马尔科夫建立的概率模型不但具有深刻的哲学意义，而且具有真实的物理背景。在他的工作之前或同时，一些“马尔科夫链”或更复杂的随机过程的例子已出现在某些研究中，只不过研究者没有自觉认识到这类模型的普遍意义，或者没有用精确的数学语言表述出来罢了。例如布朗（R. Brown，1773—1858）1827 年发现的悬浮微粒的无规则运动，高尔顿（F. Galcon，1822—1911）1889 年提出的家族遗传规律，埃伦费斯特（P. Ehrenfest，1880—1933）1907 年关于容器中分子扩散的实验等等，都可用马尔科夫链或马尔科夫过程来描述。正是在统计物理、量子力学、遗传学以及社会科学的众多新发现、新事实面前，决定论的方法显得百孔千疮 。

有趣的是，马尔科夫本人没有提到他的概率模型在物理世界的应用，而是利用了语言文学方面的材料来说明链的真实背景。在《概率演算》第四版中，他统计了长诗《叶甫盖尼·奥涅金》中元音字母和辅音字母交替变化的规律：

Не  мысля  гордый  свет  забавить

Вниманье  дружбы  возлюбя
……

［注⑤：这是长诗开头的两句，直意为“不要屈服于骄傲的光，忽视了朋友的情谊”，查良铮译本作“我不想取悦骄狂的世人，只希望博得朋友的欣赏”，参阅查译《欧根·奥涅金》，四川人民出版社，1983年版］

诗人火一般的诗篇在数学家那里变成了一条冷冰冰的锁链：

СГСГССГСГССГСССГССГСГСГССССГСГССГССГССГСГССГСГ……

这条锁链上只有两种链环，С 代表辅音，Г 代表元音（为了使问题简单起见，不妨把两个无音字母作辅音），马尔科夫分别统计了在 С 后面出现 С 和 Г 的概率 p 和 1-p ，以及在 Г 后面出现 С 和 Г 的概率 q 和 1-q ，把结果与按照俄语拼音规律计算出的结果进行比较，证实了语言文字中随机的（从概率论的意义上讲）字母序列符合他所建立的概率模型。

完成了关于链的大数定律证明之后，马尔科夫在一系列论文中开始研究链的中心极限定理。1907 年他在《一种不平常的相依实验》中证明了齐次马尔科夫链的渐进正态性；1908 年在《一个链中变量和的概率计算的极限定理推广》中又作了进一步的推广；1910 年他发表了重要的论文《成连锁的实验》，其中证明了两种情况的非齐次马尔科夫链的中心极限定理，与此同时在一些假定的前提下证明了模型的各态历经性，成为在统计物理中具有重要作用的遍历理论中第一个被严格证明的结果。

马尔科夫链的引入，在物理、化学、天文、生物、经济、军事等领域都产生了连锁性的反应，很快涌现出一系列新的课题、新的理论和新的方法，并揭开了概率论中一个重要分支——随机过程理论蓬勃发展的序幕。

马尔科夫在概率论方面还有其他一些贡献，如最小二乘法、方差系数的估计等等。他不愧为概率论现代进程中伟大的设计师和先行者，他对古典极限理论和相依随机变量序列的研究构成了彼得堡数学学派历史上最辉煌的一章。

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为科学与民主而斗争

1886 年，经切比雪夫提名马尔科夫成为彼得堡科学院候补成员，1890 年成为候补院士，1896 年成为正式院士。对于这一俄国科学界的最高荣誉，他抱着十分淡泊的态度；但是为了伸张真理与正义，他可以抛弃一切功名利禄。马尔科夫不是一个把自己关在书斋里不问天下事的学者，他提倡科学，反对迷信，关心哲学和社会问题，憎恨教会与沙皇的专制统治，在十九世纪末二十世纪初俄国先进知识分子争取科学与民主的运动潮流中，他是一个勇敢无畏的斗士。

马尔科夫的代表作《概率演算》不但是概率论学科中不朽的经典文献，而且可以看成是一篇唯物主义的战斗檄文。这部巨著带有强烈的论战性质，而论战的主要对手竟是恩师切比雪夫的老师、被认为是俄国数学元宿的布尼亚科夫斯基。

布尼亚科夫斯基早年留学巴黎，回国后任彼得堡大学数学教授和科学院院士，他于 1846 年出版的《概率论的数学基础》是俄国第一部概率论教科书，对于这门学科在俄国的传播和发展起到了一定的历史作用，但是书中也存在严重的错误，那就是过分强调了概率论应用于“伦理科学”的意义和宣扬不可知论思想。

把概率论的方法应用到社会科学中，本来是法国大革命以来一些数学家的大胆尝试，但是由于拉普拉斯等人决定论的影响，这些学者们往往把复杂的社会现象视为服从牛顿力学的机械运动，反而损坏了概率论的声誉。布尼亚科夫斯基在自己的著作中，以长达 60 页的篇幅叙述“把概率分析应用到供词、传说、候选人与意见之间的各种选择和以多数表决的司法判决”。其中一个典型的例子是这样的：由全部俄文字母中任取六个并按取出顺序排列起来，由两个证人说组成了 MOCKBA（莫斯科）这个词，问“证词是真的”这件事的概率是多少？在假定六个俄文字母组成的词共有 5 万而证人说真话的倾向为 9/10 的条件下，布尼亚科夫斯基算得一个小于 1/300 的概率，这当然大大低于一般人按常识判断出的结果。如果法庭以此来判断证词的真伪，两个“基本上诚实”的证人岂不冤哉枉也？马尔科夫在《概率演算》中尖刻地嘲讽了这个概率论应用于“伦理科学”的例子，他写道：“（这个例子）充分阐明在解类似我们所讨论的本质上很不确定的问题时，不可避免要引出许多任性的假设。如果容许证人能有错误并且取消其证词的独立性，则所考虑的问题还会有更不确定性的性质。”一针见血地道破了这种应用的荒诞不经。

如果说布尼亚科夫斯基关于概率论的某些应用的错误是受法国数学家影响的话，那么他在认识论方面的错误，则是从拉普拉斯等人的机械唯物论退到滥用终极理由的神学和不可知论。他宣称概率论“所考虑和估值的是这样的现象：它们依据我们完全不知道的原因，并且由于我们的无知，我们对这些原因也无法作任何假设。”他又说：“有些哲学家以极不体面的方式，试图把证据和传说弱化的概率公式应用到宗教信仰上，以此来动摇它们。”对于这种宗教卫道士的言论，马尔科夫在《概率演算》中进行了针锋相对的批判，他说：“不管数学公式如何，对不大可能事件的叙述就仿佛对久远年代以前发生的事件一样，显然应该予以极端的怀疑，因此我们无论如何不能同意布尼亚科夫斯基院士的意见，仿佛必须划分出某一类叙述，对这类叙述怀疑一下就认为是大逆不道的了。”［注⑥：本节所引用的马尔科夫和布尼亚科夫斯基论战的原文，均参照了柯涅坚科《概率论教程》的“概率论简史”部分，丁寿田译，人民教育出版社，1956 年］明眼人都知道“这类叙述”指的是什么：布尼亚科夫斯基的原意是要在《圣经》等宗教经典中的传说与一般世俗传闻之间画一条明确的界限，对于前者绝对不允许使用概率论的手段去分析。马尔科夫和布尼亚科夫斯基的这段论战，成了他与教会彻底决裂中的一颗重磅炸弹。

1896 年，俄国末代沙皇尼古拉二世（А. НиколайⅡ, 1869—1918）粉墨登基，这是一个残酷暴虐的家伙，被人称作“血腥的尼古拉”。从青年时代就受到民主启蒙运动熏陶的马尔科夫，对沙皇的专制非常鄙夷，在接纳作家高尔基（М. Горький，1868—1936）为科学院名誉院士的斗争中，马尔科夫与许多富有正义感的的院士们一起，与尼古拉二世的粗暴干涉进行了勇敢的斗争。

1902 年2月25日，科学院文学部联席会议通过了一项决定，接纳高尔基为名誉院士，不久他刚刚因为发表了《海燕之歌》而遭到宪兵搜捕和被流放。这一藐视沙皇专制的事件引起尼古拉二世的恐慌，他公然给国民教育大臣发布了一条手谕：“委托您宣布，按照朕的命令，高尔基的当选无效。”受到压力的科学院院务委员会于 3 月 12 日发布了一个取消高尔基当选资格的公告。

对于沙皇的这一粗暴干涉，科学院中的进步人士表示了强烈的愤慨，克罗连科（В. Г. Короленко，1853—1921）、契诃夫（А. П. Чехов，1860—1904）等人宣布退出科学院以示抗议，身在数理学部的马尔科夫于 4 月 6 日向院部委员会递交了如下声明：“我认为科学院关于取消高尔基当选资格的文告是无效的和被强加的：第一，文告盗用了科学院的名义，但事实上科学院并无意取消这一次格；第二，文告所给出的理由是毫无意义的。”虽然马尔科夫在院务委员会上要求宣读这一声明，但是遭到执行主席的拒绝。于是他又采取进一步的行动，两天以后，他向充任科学院院长的沙皇的叔父康斯坦丁递交了辞去院士称号的声明。这个根本不懂得科学的院长一面劝告马尔科夫收回成命，一面竭力向报界隐瞒事件的真相，害怕更多的科学家效法采取相同的对抗行动。只是由于马尔科夫当时在科学院正担负着编辑切比雪夫文集的工作，他才没有采取更激烈的举措。在这一事件中，马尔科夫对科学院上层集团屈服于沙皇的淫威深感失望。1903 年初，他以院委会要从其成员所得科学奖金中抽税一事为借口递交了一份备忘录，上面写着：“我最诚恳地提请院委会注意，我绝不申报任何奖励，也绝不期望得到任何奖励。”其实马尔科夫这一举动的真正目的不在于反对征税，而是以此显示自己不与听凭沙皇摆布的院委会同流合污。

1905 年的民主革命失败以后，俄国政治上开始了一个反动时期。1907 年 6 月 3 日，斯托雷平（П. А. Столыпин，1862—1911）悍然解散了有社会民主党人参加的第二届国家杜马，随后组织代表地主和资产阶级利益的第三届杜马。为此，马尔科夫照会科学院理事会说：“第三届国家杜马的建立完全违背了宪法，因而不是一个代表人民意愿的议会，而只是一个非法的团体，因此我最坚决地请求理事会不要将我的名字列入选民的名单之中。”

在斯托雷平反动时期，大学里的进步力量遭到破坏，1908 年国民教育部发表通告，重申取消大学自治、恢复学监制度、封闭一切社团。对此马尔科夫非常气愤，他立即给教育大臣写了一封信，信中声称：“我最坚决地拒绝在彼得堡大学充当沙皇政府走卒的角色，但我将保留开设概率论课程的权利。”

在与反动政府的一系列冲突之后，马尔科夫与沙皇专制的重要精神支柱东正教会实行了决裂。东正教最高会议的头子是尼古拉二世的私人教师和谋臣，他们在奴役俄国各族人民、镇压日益高涨的民主运动等一系列问题上是沆瀣一气的，沙皇当局不便直接出面干的坏事，就由东正教会来干，1901 年东正教最高裁判所就宣布大文豪托尔斯泰（Л. Н. Толстой，1828—1910）为异教徒而开除了他的教籍。马尔科夫从青年时代就具有无神论倾向，托尔斯泰的思想对他也有一定的影响。1912 年 2 月 12 日，马尔科夫致信东正教最高会议，信中写道：“我最诚挚地请求开除我的教籍。我希望以下我所摘引的拙著《概率演算》中的言论可以成为除籍的理由，因为这些言论已经充分表明我对成为犹太教和基督教教义之基础的那些传说所持的反对态度。”

下面马尔科夫整段摘引了前文所提到的他与布尼亚科夫斯基之间的论战，为了使那些不懂得什麽是概率论的神父了解他的意思，他又火上加油地写下了以下的话：“如果上述言论还不足以构成开除我教籍的理由的话，那么我再次恳切地提请你们注意：我已经不认为在圣像和木偶之间有什么本质的区别，它们当然不是上帝们，而只是上帝们的偶像；我也早就不赞成任何其他宗教，它们也都如同东正教一样，是靠火与剑来维持并为其服务的。”

这无疑是向教会神权的宣战。教会在报刊上对他组织了围攻，同时彼得堡教区总主教还派代表企图说服他放弃这一表明，但马尔科夫表示：“只与来人谈数学。”万般无奈的教会只好开除了他的教籍。

马尔科夫的这一行动与托尔斯泰 1901 年被东正教除籍一事有什么关系，我们手头没有更充分的材料能加以说明［注⑦：据马尔科夫儿子写的传记，父亲当年的行动正是针对教会开除托尔斯泰教籍“这一散发着中世纪霉臭的荒唐举动”的］，但是有一点十分明确，那就是他们在宗教与科学关系的看法上有惊人的相似之处。数学家在托尔斯泰的作品中能发现许多他们感兴趣的内容，例如《战争与和平》中那个教女儿几何学、自己演算高等数学的老保尔康斯基公爵的原型，据说就是托尔斯泰的外祖父。在这部名著的尾声，我们还可以读到有关概率论的一段议论——托尔斯泰在谈到当代科学与旧的宗教、法律、道德规范之间的关系时写到：“自从有人说出并证明了出生率和犯罪率服从数学定律，一定的地理的和政治经济条件决定这种和那种政府形式，人口和土地的关系产生人民的移动，从那个时候起，历史所寄托的那些基础便在实际上被毁坏了。”这不正是布尼亚科夫斯基感到恼火的“有些哲学家”的言论吗？

1913 年，沙皇政府为了转移国内日益高涨的革命情绪和准备战争，决定以 1613 年全俄贵族会议选举哈依尔·罗曼诺夫（М. Ф. Романовы，1596—1645）为沙皇这一事件为标志，举行浮华的罗曼诺夫王朝建立三百周年庆典。于此针锋相对，马尔科夫决定以瑞士数学家贝努利（J. Bernoulli，1654—1705）于 1713 年出版的《猜度数》（Ars Conjectandi）为标志，在科学界发起庆祝大数定律发现二百周年的活动［注⑧：《猜度术》载有世界上第一个大数定律，该书于 J. 贝努利去世后八年后才出版，所以实际上大数定律的发现应在 1705 年之前］。这一行动清楚表明了马尔科夫对罗曼诺夫家族统治的蔑视，以及对人类精神财富创造者的无比崇敬。

马尔科夫就是这样一个刚正不阿的学者，一个不畏强暴的勇士，一个坚定的无神论者和民主运动的斗士。

献身俄罗斯教育事业

从 1880 年开始马尔科夫就在彼得堡大学任教，先是担任助教和讲师，1886 年成为副教授，1893 年升为正教授，1905 年退休荣获终身荣誉教授称号。25年来，他先后讲授过微积分、数论、函数论、矩论、计算方法、微分方程、概率论等课程，为俄国培养了许多出色的数学人才。关于马尔科夫的讲课风格毁誉不一。他与切比雪夫和李雅普诺夫不同，讲课时既不在乎板书的工整也不注意表情的生动，而且常常有意略去教科书中的传统题材，因此一般的学生抱怨不好懂；但少数优秀的学生发现他的课程从逻辑上具有无可指责的严密性，内容充实无华，其中往往还包括一些他本人的最新研究成果。

从教授席位退休以后，马尔科夫仍然以科学院院士的身份在彼得堡大学开设概率论课程，讲义用的就是倾注了他半生心血的《概率演算》。为了开好这门课程，他反复对这部书进行修改，直到临终前还进行第四版的校订工作。这一最后的修订本于他逝世两年后出版。

十月革命前夕，彼得堡的局势动荡不定，科学院与大学已无正常的工作秩序，马尔科夫在这种情况下请求科学院派他到外省去从事中学教育。1917年9月，年过花甲的马尔科夫来到梁赞省一个叫萨兰斯克的县城，无偿地承担县中学的数学教学工作。他有个 14 岁的儿子也一同来到这里，恰好就插班在他任课的年级，这个小马尔科夫（А. А. Марков，1903—1979）后来也成了有名的数学家，1953 年当选为苏联科学院的通讯院士［注⑨：小马尔科夫的名字及父名与父亲完全相同，本文所用的文献 1 就是他为父亲写的传记。小马尔科夫最先研究理论物理和天体力学，后转向动力体系理论、测度论、拓扑学、代数等。参见林尼克、沙宁《安德列·安德列也维奇·马尔科夫》，中译载 1955 年 2 月《数学通报》］。

据小马尔科夫回忆，父亲在县中学的第一堂课是十分吓人的。一个成绩一向优秀的学生被叫到黑板前演算，当他按照原任课教师的要求用圆规和三角板在黑板上画图时，马尔科夫大为恼火，狠狠地批评了这种在枝节问题上精雕细琢的做法。他讲课时总是随手画出一个示意图，而把重点放在解题的思路和方法上。为了弥补学生们的知识缺陷，他经常利用课余时间引导他们做难度较大的习题。

马尔科夫父子到萨兰斯克不久十月革命就爆发了，由于内战和饥荒，他们在这里度过了一个艰苦的学年，但是马尔科夫不介意生活条件的艰苦，他把相当大的精力用在提高学生的数学修养上，为此学校领导和当地苏维埃对他十分感谢。

1919 年秋，马尔科夫回到彼得堡治疗眼疾，手术后返回阔别已久的学校继续开设他的概率论讲座。这时他的体力已远不如前了，每次讲课都要儿子搀扶着进出教室。然而当他一站到讲台上就感到来了精神。在几十年的教学生涯里，他比其他任何人都更忠实地向学生们灌输彼得堡数学学派的信条和理想。他继承了切比雪夫对具体问题的兴趣，不断追求数学方法的简单化和精确的结果，善于向经典课题汲取养料，同时把自己的事业深深扎根在大学这块沃土之中。在彼得堡数学家团体中，没有人比他更“彼得堡化”了。有一次别人向他请教数学的定义，他不无骄傲地说“数学，那就是高斯、切比雪夫、李雅普诺夫、斯捷克洛夫［注⑩：斯捷克洛夫（В. А. Стеклов，1864—1926）是李雅普诺夫的学生，十月革命后成为苏联数学界的领袖，现在苏联科学院的数学研究所即以他的名字命名］和我所从事研究的东西。”

1919 年秋天，马尔科夫的病情开始严重起来，他只得离开心爱的学校。在生命的最后一年里，他还在抓紧时间修订《概率演算》。1922 年 7 月 20 日，这位在众多数学分支里留下足迹和为科学与民主奋斗一生的老人辞别了人世。

马尔科夫的遗体被安葬在彼得堡的米特罗芳耶夫斯基公墓，他的墓碑没有过多的修饰，就像他的文章和讲课一样朴素无华。然而他的思想、他的成就、他的品德就像一座巍峨的丰碑，永远矗立在真理的求索者心中。

主要参考文献

［1］ А. А. Марков, Биография А. А. Маркова, Избранный труды теории чисел и теории вероятностей А. А. Маркова, Издательство Академии Наук СССР, 1951.
［2］ И. З. Штокало, История отечественной, том 2, Издательство 《Наукова думка》, 1967.
［3］ Б. В. Гнеденко, Развитие теории вероятностей в России, Труды института истории естествознани, том 2, Издательство Академии Наук СССР, 1948.
［4］ Ch. C. Gillispie, Dictionary of Scientific Biography, Charles  Scribner's Sons, Vol. 9, 1971.