伯特兰猜想与勒让德猜想

yangchuanju · 发表于 2022-12-8 20:58

伯特兰猜想与勒让德猜想
欧拉、拉马努金、伯特兰、勒让德都是有名的数论专家，题目在数论方面贡献非凡；
对他们的成果本文不做介绍，只谈一谈涉及伯特兰和勒让德的两个猜想。
伯特兰猜想：
2n/log(2n)<a(n)<4n/log(4n),对于n>=1，并且prime(2n<a(n<prime(4n),如果n>1。另外，a(n)~prime(2n)，n->无穷大。
式中a(n)是一个拉马努金素数，换言之，
在整数2n和4n之间必然有素数存在，或在n和2n之间必然有素数存在。
勒让德猜想：
在整数n^2和(n+1)^2之间必然有素数存在。
拉马努金证明了两个猜想。

yangchuanju · 发表于 2022-12-8 20:59

A014085给出了10000个n^2至(n+1)^2之间的素数个数；
A060715给出了1000个n至2n之间的素数个数；
A143223给出了n=1至10000时[(n+1)^2-n^2]-[2n-n]素数个数的差值：
A014085 A060715 A143223
0 0 —— 0 0
1 2 1 0 1 2
2 2 2 1 2 1
3 2 3 1 3 1
4 3 4 2 4 1
5 2 5 1 5 1
6 4 6 2 6 2
7 3 7 2 7 1
8 4 8 2 8 2
9 3 9 3 9 0
10 5 10 4 10 1
11 4 11 3 11 1
12 5 12 4 12 1
13 5 13 3 13 2
14 4 14 3 14 1
15 6 15 4 15 2
16 7 16 5 16 2
17 5 17 4 17 1
18 6 18 4 18 2
19 6 19 4 19 2
20 7 20 4 20 3
21 7 21 5 21 2
22 7 22 6 22 1
23 6 23 5 23 1
24 9 24 6 24 3
25 8 25 6 25 2
26 7 26 6 26 1
27 8 27 7 27 1
28 9 28 7 28 2
29 8 29 6 29 2
30 8 30 7 30 1
31 10 31 7 31 3
32 9 32 7 32 2
33 10 33 7 33 3
34 9 34 8 34 1
35 10 35 8 35 2
36 9 36 9 36 0
37 9 37 9 37 0
38 12 38 9 38 3
39 11 39 9 39 2
40 12 40 10 40 2
41 11 41 9 41 2
42 9 42 10 42 负1
43 12 43 9 43 3
44 11 44 9 44 2
45 13 45 10 45 3
46 10 46 10 46 0
47 13 47 9 47 4
48 15 48 9 48 6
49 10 49 10 49 0
50 11 50 10 50 1
51 15 51 11 51 4
52 16 52 12 52 4
53 12 53 11 53 1
54 13 54 12 54 1
55 11 55 13 55 负2
56 12 56 13 56 负1
57 17 57 14 57 3
58 13 58 14 58 负1
59 16 59 13 59 3
60 16 60 13 60 3
61 13 61 12 61 1
62 17 62 12 62 5
63 15 63 12 63 3
64 14 64 13 64 1
65 16 65 13 65 3
66 15 66 14 66 1
67 15 67 13 67 2
68 17 68 13 68 4
69 13 69 14 69 负1
70 21 70 15 70 6
71 15 71 14 71 1
72 15 72 14 72 1
73 17 73 13 73 4
74 17 74 13 74 4
75 18 75 14 75 4
76 22 76 15 76 7
77 14 77 15 77 负1
78 18 78 15 78 3
79 23 79 15 79 8
80 13 80 15 80 负2
81 20 81 15 81 5
82 19 82 16 82 3
83 20 83 15 83 5
84 17 84 16 84 1
85 16 85 16 85 0
86 21 86 16 86 5
87 22 87 17 87 5
88 18 88 17 88 1
89 18 89 16 89 2
90 20 90 17 90 3
91 20 91 18 91 2
92 19 92 18 92 1
93 23 93 18 93 5
94 21 94 18 94 3
95 21 95 18 95 3
96 21 96 19 96 2
97 22 97 19 97 3
98 23 98 19 98 4
99 21 99 20 99 1
100 23 100 21 100 2
……
A060715虽然只给出1000个n至2n之间的素数个数，但根据另外两表很容易算出n=1001至10000时的n至2n之间的素数个数。
A143223中的差值有正有负有0，负值表明n^2至(n+1)^2之间的素数个数少于n至2n之间的素数个数。

yangchuanju · 发表于 2022-12-8 21:00

A143224给出97个n^2至(n+1)^2之间的素数个数等于n至2n之间的素数个数的序号表；
A143225给出97个n^2至(n+1)^2之间的素数个数等于n至2n之间的素数个数的个数表。
A143224-97 A143225-97
1 0 1 0
2 9 2 3
3 36 3 9
4 37 4 9
5 46 5 10
6 49 6 10
7 85 7 16
8 102 8 20
9 107 9 19
10 118 10 21
11 122 11 23
12 127 12 23
13 129 13 24
14 140 14 25
15 157 15 28
16 184 16 31
17 194 17 32
18 216 18 36
19 228 19 38
20 360 20 56
21 365 21 57
22 377 22 59
23 378 23 59
24 406 24 62
25 416 25 65
26 487 26 71
27 511 27 75
28 571 28 84
29 609 29 88
30 614 30 88
31 672 31 96
32 733 32 102
33 767 33 107
34 806 34 115
35 813 35 116
36 863 36 119
37 869 37 120
38 916 38 126
39 923 39 125
40 950 40 129
41 978 41 132
42 988 42 132
43 1249 43 163
44 1279 44 168
45 1280 45 168
46 1385 46 182
47 1427 47 189
48 1437 48 189
49 1483 49 192
50 1539 50 197
51 1551 51 198
52 1690 52 213
53 1860 53 236
54 2060 54 256
55 2069 55 257
56 2099 56 257
57 2124 57 263
58 2144 58 264
59 2188 59 270
60 2200 60 272
61 2275 61 279
62 2282 62 279
63 2317 63 280
64 2493 64 299
65 2532 65 307
66 2585 66 312
67 2851 67 337
68 2905 68 342
69 3200 69 382
70 3251 70 384
71 3289 71 389
72 3436 72 404
73 3477 73 405
74 4592 74 517
75 4725 75 533
76 4804 76 538
77 4846 77 546
78 4982 78 561
79 5214 79 582
80 5301 80 591
81 5420 81 601
82 5572 82 614
83 6447 83 698
84 6680 84 724
85 7408 85 796
86 8428 86 891
87 9082 87 954
88 9153 88 963
89 11711 89 1203
90 11867 90 1215
91 11895 91 1222
92 12117 92 1245
93 12807 93 1295
94 14859 94 1482
95 16915 95 1674
96 17471 96 1719
97 31331 97 2914
……

yangchuanju · 发表于 2022-12-8 21:01

A143226给出413个n至2n之间素数个数大于n^2至(n+1)^2之间素数个数的A014085序号表；
A143227给出413个对应的差值表：
A143226-413 A143227-413
1 42 1 1
2 55 2 2
3 56 3 1
4 58 4 1
5 69 5 1
6 77 6 1
7 80 7 2
8 119 8 2
9 136 9 3
10 137 10 3
11 143 11 3
12 145 12 1
13 149 13 1
14 156 14 1
15 174 15 1
16 177 16 1
17 178 17 2
18 188 18 2
19 219 19 1
20 225 20 1
21 232 21 1
22 247 22 2
23 253 23 2
24 254 24 1
25 257 25 1
26 261 26 3
27 263 27 2
28 297 28 1
29 306 29 1
30 310 30 2
31 325 31 2
32 327 32 6
33 331 33 3
34 335 34 3
35 339 35 1
36 341 36 1
37 344 37 1
38 356 38 2
39 379 39 1
40 395 40 1
41 402 41 1
42 410 42 1
43 418 43 6
44 421 44 3
45 425 45 8
46 433 46 3
47 451 47 2
48 485 48 3
49 500 49 2
50 506 50 3
51 522 51 1
52 523 52 1
53 532 53 4
54 534 54 3
55 536 55 10
56 541 56 2
57 545 57 1
58 546 58 1
59 549 59 2
60 554 60 3
61 561 61 1
62 568 62 3
63 582 63 4
64 596 64 2
65 597 65 2
66 600 66 9
67 607 67 7
68 622 68 2
69 629 69 2
70 633 70 4
71 637 71 3
72 642 72 3
73 645 73 1
74 652 74 2
75 661 75 3
76 667 76 5
77 668 77 1
78 669 78 2
79 679 79 3
80 690 80 2
81 696 81 11
82 708 82 3
83 717 83 1
84 731 84 2
85 745 85 4
86 749 86 7
87 768 87 1
88 786 88 1
89 791 89 1
90 792 90 1
91 793 91 1
92 799 92 5
93 816 93 1
94 817 94 2
95 835 95 3
96 847 96 3
97 862 97 4
98 880 98 2
99 895 99 2
100 898 100 9
……

yangchuanju · 发表于 2022-12-8 21:02

A060715给出1000个n至2n之间的素数个数表；
A084139给出1000个A060715素数个数分别是0,1,2,3……1000时的最大n值表：1,5,8,14……；
A060715-1000 A084139-1000
—— 0 1
1 0 1 5
2 1 2 8
3 1 3 14
4 2 4 20
5 1 5 23
6 2 6 29
7 2 7 33
8 2 8 35
9 3 9 48
10 4 10 50
11 3 11 53
12 4 12 63
13 3 13 74
14 3 14 75
15 4 15 83
16 5 16 89
17 4 17 90
18 4 18 113
19 4 19 114
20 4 20 116
21 5 21 119
22 6 22 120
23 5 23 131
24 6 24 134
25 6 25 140
26 6 26 153
27 7 27 155
28 7 28 173
29 6 29 174
30 7 30 183
31 7 31 186
32 7 32 200
33 7 33 204
34 8 34 209
35 8 35 215
36 9 36 216
37 9 37 219
38 9 38 230
39 9 39 243
40 10 40 245
41 9 41 251
42 10 42 284
43 9 43 285
44 9 44 293
45 10 45 296
46 10 46 299
47 9 47 300
48 9 48 303
49 10 49 320
50 10 50 321
51 11 51 323
52 12 52 326
53 11 53 329
54 12 54 338
55 13 55 359
56 13 56 363
57 14 57 369
58 14 58 375
59 13 59 384
60 13 60 404
61 12 61 410
62 12 62 411
63 12 63 413
64 13 64 426
65 13 65 428
66 14 66 440
67 13 67 468
68 13 68 470
69 14 69 473
70 15 70 483
71 14 71 491
72 14 72 504
73 13 73 509
74 13 74 510
75 14 75 515
76 15 76 524
77 15 77 525
78 15 78 530
79 15 79 531
80 15 80 543
81 15 81 545
82 16 82 548
83 15 83 551
84 16 84 575
85 16 85 581
86 16 86 593
87 17 87 608
88 17 88 614
89 16 89 624
90 17 90 638
91 18 91 644
92 18 92 648
93 18 93 650
94 18 94 683
95 18 95 686
96 19 96 711
97 19 97 713
98 19 98 714
99 20 99 719
100 21 100 723
……

yangchuanju · 发表于 2022-12-8 21:03

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-12-9 08:03 编辑

OEIS网站中还有2n-3n（A289493）、3n-4n（A289494）、4n-5n（A289495）、5n-6n（A289496）、6n-7n（A289497）、7n-8n（A289498）、8n-9n（A289499）、9n-10n（A289500）之间素数个数的统计表各10000个。

yangchuanju · 发表于 2022-12-9 08:02

A289493 A289494 A289495 A289496
2n-3n 3n-4n 4n-5n 5n-6n
1 2 1 1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 0 2 1
3 1 3 1 3 1 3 1
4 1 4 1 4 2 4 1
5 2 5 2 5 1 5 1
6 2 6 2 6 1 6 1
7 2 7 1 7 2 7 2
8 3 8 2 8 1 8 3
9 2 9 2 9 3 9 2
10 2 10 2 10 3 10 2
11 3 11 3 11 2 11 2
12 2 12 4 12 2 12 3
13 3 13 3 13 3 13 3
14 4 14 3 14 3 14 4
15 4 15 3 15 4 15 3
16 4 16 3 16 4 16 2
17 4 17 4 17 4 17 3
18 5 18 4 18 4 18 4
19 4 19 5 19 3 19 6
20 5 20 5 20 3 20 5
21 5 21 5 21 4 21 3
22 4 22 5 22 6 22 3
23 5 23 5 23 6 23 3
24 5 24 4 24 6 24 4
25 6 25 4 25 5 25 5
26 6 26 6 26 4 26 5
27 6 27 6 27 4 27 5
28 7 28 6 28 5 28 5
29 7 29 7 29 4 29 6
30 7 30 6 30 5 30 6
31 6 31 6 31 6 31 6
32 6 32 7 32 6 32 6
33 7 33 7 33 6 33 7
34 7 34 6 34 7 34 7
35 8 35 7 35 6 35 6
36 8 36 6 36 7 36 6
37 8 37 5 37 8 37 5
38 9 38 6 38 6 38 7
39 9 39 6 39 8 39 7
40 8 40 7 40 9 40 6
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yangchuanju · 发表于 2022-12-9 08:03

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