二百五方程

yangchuanju

同一个不定方程X^2+Y^3=Z^2，鲁思顺、朱明君、程中战分别给出三套解：
鲁思顺：X=Y=a^2-1,  Z=a*(a^2-1)
朱明君：按程中战方法解到底得X=[a^2*b^2-ab]/2,  Y=ab,  Z=[a^2*b^2+ab]/2
程中战：X=(a^3 -b^3)/2，Y=ab， Z=(a^3 +b^3)/2
其中，a、b为互质的奇数，a＞b

再来一个勾股方程X^2+Y^2=Z^2，仍按鲁思顺、朱明君、程中战的各自解法有：
鲁思顺：方程无整数解，X=Y，X^2+Y^2=2*X^2，2的平方根不是整数；
朱明君：X=0,  Y=ab,  Z=ab，不是正整数解；
程中战：X=(a^2-b^2)/2,  Y=ab,  Z=(a^2+b^2)/2，它是勾股方程的一组通解。

看来，还是程老师道义深！

yangchuanju

lusishun 发表于 2022-12-14 16:15
这个解法二，需程先生做了，我还没有学会

不定方程X^2+Y^n=Z^2
其中一个答案是：
X=(a^n -b^n)/2，Y=ab， Z=(a^n +b^n)/2
其中，a、b为互质的奇数，a＞b
注：此解为本原解，即X、Y、Z两两互质。
验：X^2=(a^n-b^n)^2/4=(a^2n-2a^n*b^n+b^2n)/4
Y^n=a^n*b^n=4a^n*b^n/4
X^2+Y^n=(a^2n-2a^n*b^n+b^2n)/4+4a^n*b^n/4=(a^2n+2a^n*b^n+b^2n)/4
Z^2=(a^n+b^n)^2/4=(a^2n+2a^n*b^n+b^2n)/4= X^2+Y^n

验：令n=3，X^2=(a^3-b^3)^2/4=(a^6-2a^3*b^3+b^6)/4
Y^3=a^3*b^3=4a^3*b^3/4
X^2+Y^3=(a^6-2a^3*b^3+b^6)/4+4a^3*b^3/4=(a^6+2a^3*b^3+b^6)/4
Z^2=(a^3+b^3)^2/4=(a^6+2a^3*b^3+b^6)/4= X^2+Y^n
无法变成鲁思顺的X=Y= a^2-1和Z=a*（a^2-1）的形式。

yangchuanju

解鲁氏不定方程
http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D1

1楼  费尔马1  发表于 2022-3-1 20:24
解鲁氏不定方程（一）
A^(n+1)+B^n=C^n
A=m^（nk+1）
B=bm^[（n+1）k+1]
C=am^[（n+1）k+1]
其中，a、b为正整数，k为自然数，
m=a^n－b^n，且m>0

5楼  yangchuanju
解鲁氏不定方程
费尔马解鲁氏不定方程（一）
A^(n+1)+B^n=C^n
A=m^（nk+1）
B=bm^[（n+1）k+1]
C=am^[（n+1）k+1]
其中，a、b为正整数，k为自然数，
m=a^n－b^n，且m>0

检验：
A^(n+1)=[m^(nk+1)]^(n+1)=m^(n^2*k+n*k+n+1)
B^n=b^n*m^[(n+1)*k+1]^n=b^n*m^(n^2*k+n*k+n)
C^n=a^n*m^[(n+1)*k+1]^n=a^n*m^(n^2*k+n*k+n)

A^(n+1)+B^n=m^(n^2*k+n*k+n+1)+b^n*m^(n^2*k+n*k+n)=(m+b^n)*m^(n^2*k+n*k+n)
令A^(n+1)+B^n=C^n，则m+b^n=a^n，m=a^n-b^n。
故当a、b为正整数，k为自然数，m=a^n－b^n，且m>0时原方程成立；
随意给定一对正整数a和b，即得一个正整数m。

yangchuanju

解鲁氏250之崽——25不定方程
仿程中战的函数不定方程的解法
Y^26+X^25=Z^25
Y=m^（25k+1）
X=bm^[26k+1]
Z=am^[26k+1]
其中，a、b为正整数，k为自然数，
m=a^25－b^25，且m>0

验：令k=0，则Y=m,  X=bm,  Z=am;
Y=a^25-b^25,  X=b*a^25-b^26,  Z=a^26-a*b^25;
Y^26=(a^25-b^25)^26
=a^25^26-26*a^25^25*b^25+325*a^25^24*b^25^2-…-26*a^25*b^25^25+b^25^26
=a^650-26*a^625*b^25+325*a^600*b^50-…-26*a^25*b^625+b^650
X^25=(a^25*b-b^26)^25
=a^25^25*b^25-25*a^25^24*b^24*b^26+300*a^25^23*b^23*b^26^2-…-25*a^25*b*b^26^24+ b^26^25
=a^625*b^25-25*a^600*b^50+300*a^575*b^75-…+25*a^25*b^625-b^650
Z^25=(a^26-a*b^25)^25
=a^26^25-25*a^26^24*a*b^25+300*a^26^23*a^2*b^25^2-…-25*a^26*a^24*b^25^24+a^25*b^25^25
=a^650-25*a^625*b^25+300*a^600*b^50-…+25*a^50*b^600-a^25*b^625
经检验，Y^26+X^25=Z^25，通解正确！
附：二项式系数
1        25        300        2300        12650        53130        177100        480700        1081575        2042975        3268760        4457400        5200300
1        26        325        2600        14950        65780        230230        657800        1562275        3124550        5311735        7726160        9657700

yangchuanju

验：
Y^26=(a^25-b^25)^26
=a^25^26-26*a^25^25*b^25+325*a^25^24*b^25^2-…-26*a^25*b^25^25+b^25^26
=a^650-26*a^625*b^25+325*a^600*b^50-…-26*a^25*b^625+b^650
X^25=(a^25*b-b^26)^25
=a^25^25*b^25-25*a^25^24*b^24*b^26+300*a^25^23*b^23*b^26^2-…+25*a^25*b*b^26^24-b^26^25
=a^625*b^25-25*a^600*b^50+300*a^575*b^75-…+25*a^25*b^625-b^650
Z^25=(a^26-a*b^25)^25
=a^26^25-25*a^26^24*a*b^25+300*a^26^23*a^2*b^25^2-…+25*a^26*a^24*b^25^24-a^25*b^25^25
=a^650-25*a^625*b^25+300*a^600*b^50-…+25*a^50*b^600-a^25*b^625
项数        Y系数        a指数        b指数        X系数        Z系数
1        1        650        0        0        1
2        -26        625        25        1        -25
3        325        600        50        -25        300
4        -2600        575        75        300        -2300
5        14950        550        100        -2300        12650
6        -65780        525        125        12650        -53130
7        230230        500        150        -53130        177100
8        -657800        475        175        177100        -480700
9        1562275        450        200        -480700        1081575
10        -3124550        425        225        1081575        -2042975
11        5311735        400        250        -2042975        3268760
12        -7726160        375        275        3268760        -4457400
13        9657700        350        300        -4457400        5200300
14        -10400600        325        325        5200300        -5200300
15        9657700        300        350        -5200300        4457400
16        -7726160        275        375        4457400        -3268760
17        5311735        250        400        -3268760        2042975
18        -3124550        225        425        2042975        -1081575
19        1562275        200        450        -1081575        480700
20        -657800        175        475        480700        -177100
21        230230        150        500        -177100        53130
22        -65780        125        525        53130        -12650
23        14950        100        550        -12650        2300
24        -2600        75        575        2300        -300
25        325        50        600        -300        25
26        -26        25        625        25        -1
27        1        0        650        -1        0
X、Z项的指数与Y项指数相同，本网站版面不能正常显示过多列数，隐藏未显示！
Y系数+X系数=Z系数，通解正确。

lusishun

程氏函数不定方程妙趣无穷，深不可测

yangchuanju

lusishun 发表于 2022-12-15 10:12
程氏函数不定方程妙趣无穷，深不可测

解鲁氏250之崽——25不定方程2
仿程中战的函数不定方程的解法
Y^26-Z^25=X^25——移项，X项去掉负号
一组通解是：
Y=m^[25k+1]
X=-bm^[26k+1]——b改为负号
Z=am^[26k+1]
其中，a、b为正整数，k为自然数，
m=a^25－b^25，且m>0

yangchuanju

解鲁氏250之崽——25不定方程3
仿程中战的函数不定方程的解法
X^25-Y^26=Z^25——Y项改为负号
一组通解是：
Y=-m^[25k+1]——m前加一个负号，不是将m改为（-m）
X=bm^[26k+1]
Z=am^[26k+1]
其中，a、b为正整数，k为自然数，
m=a^25－b^25，且m>0

wangyangke

哥猜分坛的鲁思顺是个三愚蠢四无知的老牌二百五
窥熊一兵王若仲赞评鲁思顺哥猜证明之一斑而知熊王诸多猜想证明之全豹是垃圾
论坛上没有称得上靠得住的哥猜证明，却有些靠得住的二百五；鲁思顺是二百五中的突出代表，，，
鲁思顺、熊一兵、王若仲，一群傻瓜蛋