【资料】椭圆题目+数学历史故事+数学启示，一并齐备啦【1939高考数学题】

dodonaomikiki

何兆武，著名的历史学家。在其自传《上学记》中，
他曾回忆起他参加1939年西南联大高考时
所遇到的一道数学题：



那一年数学考题非常之难，也不知道是谁出的，
比我们中学所学的更深。
其中有一个题目我还记得，
在椭圆上任取一个点，
问：把这个点到椭圆上每个点连线的中点连接起来，
是什么图形，并列出方程。

我知道连起来是一个内切小椭圆，给描出来了，
可是列不出公式。
有个同学数学学得非常好，
考完了以后跟我讲，这道题不能用正坐标（即直角坐标）表述，得用极坐标。
经他一说，我就想起来了，所以印象特别深。
另外，这件事也给了我极大的启发，一个终生受益的启发：
当我们的思想解释不通的时候，
就得换一个坐标，不能死硬地按原来的模式去套。



我想，历史中真正学术上、思想上的重大突破，
大概都需要坐标的转换。
有些用原来的坐标解释不了了，
却仍在那里生搬硬套，是行不通的

dodonaomikiki

1939年高考题，
即报考工学、理学、物理、化学、天文、气象、土木、师范之数理化等专业者。
当年的命题人是
江泽涵（召集人）、杨武之、姜立夫、赵淞

dodonaomikiki

如果椭圆上面娶一个右端点，
其轨迹是啥样的
见图

dodonaomikiki

如果椭圆上面娶一个上端点，
其轨迹是啥样的
见图

dodonaomikiki

不晓得怎么回事，
这应该是一道过于简单的题目，
算都不用算，
直接出答案！绝对送分题！
不晓得我有没有哪里遗漏，也根本用不到极坐标，压根儿用不到！



好像故事的叙述者在回忆中，发生了错误

yeyucaiji

椭圆的本质是圆的拉伸，在一个圆上任取一点，中点轨迹很容易求出其方程，且轨迹是个圆，当我们把大圆拉伸成目标椭圆，其实里面的内切椭圆会同样拉伸成与目标椭圆相似的椭圆（我也不会证，但单看本质确是如此）很多时候做椭圆都会考虑如果变成圆再逆推能不能做出来