黎曼猜想的内容

白新岭

黎曼猜想的内容
走地鸡
走地鸡​
中国科学院大学 基础数学博士
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本文属于本专栏第二类主题：黎曼猜想。

本文将简单介绍黎曼猜想的内容。本文不会讲太多背景知识。关于其中一些复分析名词的含义，请参阅复分析课本。

素数

大于1的正整数分为两类——素数和合数。合数是可以写成两个较小的正整数的乘积的数，而素数则是不能写成两个较小的正整数的乘积的数。素数又名质数。

前几个素数是：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29……

素数有无穷多个。

素数分布

不超过实数  的素数个数记为  我们希望尽可能地了解函数  这也相当于了解素数分布的规律。

函数

函数是一个单复变函数。当  时，  函数定义为


其中

容易验证，这个无穷级数是收敛的。事实上，这个函数在定义域内是全纯（即解析）的。

以上定义的  可以解析延拓到除  这一点外的整个复平面上。这个解析延拓以函数方程的形式给出：

设  则有

其中  称为欧拉函数。

对于   函数可以写成无穷乘积:：

是
素
数

这是因为，  由于正整数分解为素数的乘积的方式是唯一的，这些因子相乘后恰好取遍全部正整数。

函数的零点

函数在  时没有零点，在  时有零点  是正整数。这些零点称为平凡零点。在  时，  也有一些零点，称为非平凡零点。

函数零点和素数分布的关系

令  显然，当  是素数时，有  在其他情况下均有  我们下面给出  的精确公式。这也就相当于解决了素数分布问题。

令  黎曼证明了

其中

而求和是对  函数的全部非平凡零点进行的。

我们介绍数论函数的莫比乌斯反演公式：若  则  其中  称为莫比乌斯函数，定义为  其中  是互不相同的素数，其余情况

由莫比乌斯反演公式，得到


因此，我们可以用  的公式得到  的公式。

素数定理

由上述精确公式得知，要了解素数分布的规律，只需知道  函数的非平凡零点的分布规律。事实上，Hardmard和de la Vallée Poussin在百年前即证明了  函数在  这两条线上没有零点，进而得到如下的素数定理：

即


黎曼猜想

黎曼猜想就是，  函数的非平凡零点全部位于  这条中心线上。

这与如下的素数分布公式等价：


编辑于 2021-10-15 22:55

白新岭

https://www.so.com/link?m=bJv206 ... XqyKLi4Q3ZnYKfw0hYQ

白新岭

上边连接是原文连接地址，有感兴趣的打开研究，学习。

白新岭

这是截图，原文用了公式编辑器，复制粘贴过来，面目全非。

白新岭

继续上边没有发完的截图。