饭后一道小题

费尔马1

解函数不定方程：
[A^nB^(n-1)]^2+ [C^nD^(n-1)]^2=[E^nF^(n-1)]^2                  
                                       

费尔马1

。。。。

费尔马1

，，，，

费尔马1

。。。。

费尔马1

。。。。

费尔马1

解丢番图方程：
[A^nB^(n-1)]^2+[C^nD^(n-1)]^2=[E^nF^(n-1)]^2
解：据勾股数方程 a^2+b^2=c^2 ……………………………（1）
（1）        两边同×（abc）^2得（aabc）^2+(babc)^2=(cabc)^2
（ab×ac）^2+(ab×bc)^2=(ac×bc)^2
令ab=x ，ac=y ，bc=z
则有 （xy）^2+(xz)^2=(yz)^2
也可以表示为[a^2bc]^2+[b^2ac]^2=[c^2ab]^2
令bc=x ,ac=y ,ab=z 则[a^2x]^2+[b^2y]^2=[c^2z]^2
同理，把（1）式两边同×（a^2b^2c^2）^2得
[a^3(bc)^2]^2+[b^3(ac)^2]^2=[c^3(ab)^2]^2
把（1）式两边同×[a^(n-1)b^(n-1)c^(n-1)]^2得
[a^nb^(n-1)c^(n-1)]^2+[b^na^(n-1)c^(n-1)]^2=[c^nb^(n-1)a^(n-1)]^2
令A=a  B=bc  C=b  D=ac  E=c  F=ab
则[A^nB^(n-1)]^2+[C^nD^(n-1)]^2=[E^nF^(n-1)]^2 ……………（2）
把勾股数公式代入（2）得原不定方程的通解公式（略）
  勾股数通解公式：a^2+b^2=c^2
a=m^2-n^2    b=2mn    c= m^2+n^2