代数几何的演进：从代数簇到概形

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代数几何的演进：从代数簇到概形

文章转载自微信公众号 |小朱的读书笔记

作者 | 陈跃

在 20 世纪现代数学的众多分支学科中，代数几何是一门十分重要而又比较特别的分支，它与代数、分析、数论、几何、拓扑以及数学物理等各主要学科都有紧密的联系，实际上，抽象代数、代数拓扑、微分拓扑、整体微分几何以及分析学中的许多重要理论都是因代数几何研究的需要而提出的。因此代数几何在数学中起着一种中心纽带的作用，是现代数学统一化趋势的主要体现者。然而从 19 世纪到 20 世纪的中叶，代数几何其实一直是在一个缺乏严格逻辑基础的环境中艰难地向前发展的。最终，数学家格罗滕迪克（Grothendieck）在 1960 年代用概形（scheme）理论为代数几何奠定了牢固的逻辑基础，从而促进了现代数学的大发展。本文简要回顾了从代数簇到现代的概形理论的代数几何发展史。

一、在 19 世纪之前的起源

经典代数几何的主要研究对象是“代数簇”（algebraic variety），最简单的代数簇（也称为代数集）是一组多元多项式的零点集合。



当其中的各个多元多项式都是一次多项式时，那么它就是线性代数中所研究的线性方程组，此时的代数簇就是我们都熟悉的线性方程组的解空间。然而当多项式不是一次时，代数簇的研究就非常的复杂，需要用到代数、几何与分析等学科中的大量数学方法和工具。

对代数簇的研究实际上从古代希腊就开始了，古希腊数学家们所熟悉的直线、圆、圆锥曲线、三次曲线都是最简单的代数曲线，而平面、球面、柱面和二次曲面都是最简单的代数曲面，这些代数曲线和代数曲面都属于只用一个多元多项式来确定的代数簇。在没有直角坐标系的条件下，阿波罗尼乌斯（Apollonius）运用了在今天看来是很笨拙的欧氏几何方法，对圆锥曲线作了十分详尽的研究，发现了它的许多基本性质。


图 1 ：从圆锥曲线到二次曲面

到了近代，法国数学家笛卡尔（Descartes）和费马（Fermat）在运用解析几何的方法来研究任意代数曲线方程的时候，事情就发生了质的飞跃。古代希腊数学家由于没有代数工具，他们只能局限于研究低次代数方程所表示的曲线或曲面，而有了解析几何之后，在理论上就可以讨论任意次数的代数曲线或代数曲面，从而就可以把所有的几何问题都转化为代数问题来解决。人们开始研究平面代数曲线和空间代数曲面，并且发现了在坐标变换下曲线与曲面方程次数的不变性。费马证明了所有非退化的二次代数曲线都是圆锥曲线。微积分的发明者之一、数学家牛顿还对三次平面代数曲线进行了初步的分类（共有 72 种），而 18 世纪的大数学家欧拉（Euler）则对所有的二次代数曲面进行了分类。

在 17 世纪时，德沙格（Desargues）通过研究画家的透视方法而形成了射影对应的概念，他还引进了无穷远点的概念。在普通的欧氏平面和空间中加入了无穷远点后，就得到了紧致的射影平面和 3 维射影空间，它们是许多经典代数簇所在的空间。另一方面，欧拉的虚数概念的引入也进一步完成了代数方面的“封闭化”（例如一元代数方程虽然不一定有实根，但总是有复根），由此可以简化许多数学命题的表述。例如在普通的欧氏平面中，非退化的二次代数曲线要分为椭圆、双曲线和抛物线这三种曲线，而在复射影平面中，非退化的二次代数曲线只有一种，并且三次代数曲线不是牛顿所分的 72 种类型，而是只有三种曲线。

牛顿和莱布尼茨（Leibniz）还用所谓的“消去法”得到了确定两条代数曲线相交点的方程组（这些方程组在大学高等代数课本中被称为“结式”方程组）。在此基础上，数学家贝祖（Bézout）证明了著名的贝祖定理：设 C 和 C' 是次数分别为 m 和 n 的平面射影复代数曲线，则 C 和 C' 相交于 mn 个点（计入重数）。例如从表面上看，复射影平面内的一条直线与一条抛物线的相交情形一共有四种：交于两点、交于一点、相切与无交点。但其实直线与抛物线交于一点时，它们还相交于抛物线上的无穷远点，而相切可以理解成它们相交于两个重合在一起的点，至于不相交的情形，则可以看成是它们相交于复平面上的两个被称为“圆点”的虚的无穷远点。这样，一次的直线与二次的抛物线在复射影平面上总有 1×2＝2 个交点。又如一个椭圆与一条三次曲线总是相交于 2×3＝6 个交点等等。贝祖定理实际上是代数几何中相交理论的起点。



二、19 世纪对代数簇的初步研究

19 世纪是射影几何的黄金时代，以庞斯莱（Poncelet）为代表的一批数学家建立了射影几何的系统理论，总结和整理了大量的射影几何命题和方法，特别是射影变换的理论。例如可以将圆锥曲线看成是两个相互射影对应线束的对应直线的交点轨迹等。人们发现了交比这一射影变换下的不变量，研究的对象也从“点几何”扩大到了“线几何”，并且开始研究射影空间里由两个代数曲面相交而产生的空间曲线。


图 2 ：庞斯莱与射影几何的黄金时代

人们可以证明在每个三次代数曲面上都有 27 条直线，以及每条非退化四次平面代数曲线都有 28 条与该代数曲线同时相切两次的双切线，而很有名的普吕克（Plüker）公式则刻画了平面代数曲线上的奇点性质。


图 3 ：在每个三次代数曲面上都有 27 条直线

这个阶段的研究成果还包括了：直纹曲面、2 次直线簇、格拉斯曼簇（Grassmann variety）、塞格雷（Segre）的代数簇乘积的定义等。此时所研究的代数簇的维数也开始突破 3 维，进入到了任意的 n 维。特别是数学家们开始有了“模空间”的想法，即考虑一组满足同一条件（例如方程的次数相同）的代数曲线集合，它们的全体又可以看成是另一个更高维数的射影空间里的一个代数簇。




图 4 ：伟大的数学家黎曼

黎曼是 19 世纪最伟大的数学家。他在研究阿贝尔积分理论的过程中提出了内蕴的“黎曼曲面”的概念和黎曼曲面上代数函数的理论。阿贝尔积分是复变函数论中与复代数曲线紧密相关的一种复积分，现在在复平面内，如果 f(x,y) 是一个二元复多项式，那么 f(x,y)＝0 就定义了一条复代数曲线，注意在这里可以取复数值的 x 和 y 都是实 2 维的复变量，因此复平面就可以看成是实 4 维空间，而相当于两个实数等式的复数等式 f(x,y)＝0 实际上又确定了两个 4 维空间中的曲面，由于每增加一个实数等式就相当于减少一个几何维数，于是复代数曲线 f(x,y)＝0 实际上就是一个 4－2＝2 维的实曲面。这样，每一条复代数曲线都对应了一个抽象的被称为黎曼曲面的几何对象。


图 5 ：黎曼曲面

黎曼的初始目标是对黎曼曲面上所有的阿贝尔积分进行分类，由此出发他得到了一系列刻画黎曼曲面性质的重要定理。由黎曼曲面与代数曲线的一一对应关系可知，他实际上是得到了不少关于代数曲线理论的重要成果，因此我们可以讲，是黎曼首创了用分析来研究代数曲线的方法。



也许我们可以这么认为，黎曼在 1854 年的著名演讲中所给出 n 维黎曼流形的初步概念，不仅仅是为了研究物理学意义上几何空间的需要，其实也是在为探索一般的代数簇性质所做的准备工作。黎曼在历史上第一次发现，在一般的高维微分流形上也可以设置任意的度量。他经过仔细的推算，发现了刻画黎曼流形局部几何性质的主要不变量——黎曼曲率张量 。这些张量实际上成为了整体微分几何发展的出发点，并且最终都会通过某种变化了的形式而进入到了代数几何的理论中。更加令人难以置信的是，黎曼在研究数论时所提出的大名鼎鼎的“黎曼猜想”，后来竟也变成了推动代数几何发展的强大动力。所谓的黎曼猜想是说：

代数数论其实也是代数几何的第三个主要来源。为了研究代数数域的需要，19世纪的数学家克罗内克（Kronecker）和戴德金（Dedekind）等人引入理想、赋值和除子等基本概念。以这些数学家为代表的“代数学派”的工作目标是设法对黎曼用分析方法给出的结果作出纯代数的证明，毋庸置疑，这对代数几何这门学科的性质来讲是至关重要的。


图 6 ：克罗内克（左）和戴德金

如前所述，每个代数曲线（或黎曼曲面）的双有理（或共形）等价类都对应和确定了一个同构的有理函数域 L ，它是复数域 C 的有限扩张。如果已知代数曲线（或黎曼曲面）S ，每个点 p∈S 都可以确定一个离散赋值：L*→Z（Z 是整数集）。戴德金和韦伯（Weber）的想法是将这个过程倒过来：从给定的的域的有限扩张 L/C 出发, 具体地构造出一个代数曲线（或黎曼曲面）来, 使得它的有理函数域正好就是这个域 L 。从这个大胆的想法里我们可以看到现代概形概念的雏形：从代数的对象出发来构造几何对象。戴德金和韦伯在用域 L 构造代数曲线时，将 L 上的每个非平凡的离散赋值都定义为“L所对应的代数曲线（或黎曼曲面）S 的一个点”，从而就得到了一个抽象的“代数曲线（或黎曼曲面）”。当然，构造这种抽象的“代数曲线”并不是在做无聊的数学游戏。在研究代数簇的双有理分类问题中，经常需要在同一个等价类中寻找一个性质比较好的代表元素，而这个元素往往就是通过这种奇怪的方式人为地构造出来。例如 1939 年扎里斯基在证明代数曲面的奇点解消定理时，也是运用了这个方法。

与此同时，以马克斯·诺特（Max Noether）和克莱布施（Clebsch）为代表的“几何学派”继续从经典射影几何的角度研究复代数曲线和复代数簇，他们他们进一步澄清和发展了黎曼的关于双有理变换和黎曼-罗赫定理的理论，并且发现了平面代数曲线奇点解消的基本方法，即所谓的二次变换“胀开”（blowing up）的方法。


图 7 ：马克斯·诺特和平面代数曲线的奇点解消方法

三、19 世纪末到 20 世纪早期对代数簇的深入研究

从 19 世纪末期开始，代数几何的发展进入了一个新的历史阶段。以皮卡（Picard）和庞加莱（Poincaré）为代表“分析学派”试图将黎曼的复代数曲线理论推广到复代数曲面上。虽然这里的（复的）维数仅仅增加了一维，但是与代数曲线的情形完全不同，研究代数曲面需要克服许多困难，难度极大。例如在复三维的空间中，如果 g(x,y.z) 是一个三元复多项式，那么 g(x,y.z)＝0 就是一个复代数曲面。与复代数曲线类似，g(x,y.z)＝0 实际上确定了实 6 维空间中的一个 6－2＝4 维的实微分流形。




图 8 ：庞加莱创立了代数拓扑中的同调理论



接着莱夫谢茨（Lefchetz）在 20 世纪初期进一步用这个同调理论开始研究复代数曲面的拓扑性质，得到了许多深刻的定理。对于代数曲面理论研究的最主要的贡献还是来自于著名的“意大利学派”。这个学派的三个主要代表人物是卡斯泰尔诺沃（Castelnuovo）、恩里奎斯（Enriques）和塞维里（Severi），他们在 20 世纪初期用天才的几何直觉和高超的几何技巧，综合运用包括分析与拓扑方法在内的各种方法创造了复代数曲面的一个非常深刻的理论，包括代数曲面的奇点解消、代数曲面的除子与线性系的经典理论、代数曲面的黎曼-罗赫定理的初步形式以及代数曲面的模空间等等。

但同时意大利学派的工作也有一个很大的缺陷，那就是缺少一个统一的逻辑基础，一些“证明”要依赖于数学家心目中某种神秘的几何直观，因而缺乏严密性。和数学史上常见的情形一样，这种逻辑基础不稳的状况对于视严格为生命的数学家们来说是一件特别纠结的事，它严重阻碍了代数几何的向前发展。

四、将抽象代数方法引入到代数几何中

要真正严格地建立起代数几何的推理逻辑基础，离不开抽象代数，这是因为抽象代数能够在最一般的情形中准确地描述代数簇的性质。在 1900 到 1930 年之间，已经开始出现了一些抽象代数的理论，包括群、环、域和模等理论。群论主要来源于 19 世纪的伽罗瓦（Galois）理论，而环与理想的概念则来自于戴德金的代数数论，它们的最早雏形是数域的代数整数环及其理想的概念。克罗内克不仅从代数数论中抽象出了一般的环与理想的概念，并且拉斯克（Lasker）在 20 世纪初期就发现了理想与代数簇之间一些最基本的天然联系，例如不可约仿射簇所对应的“坐标环（coordinate ring）”一定是整环，而不可约仿射簇的几何维数实际上就等于这个整环的商域在复数域上的超越次数等。




图 9 ：E. 诺特建立了抽象代数的基本理论框架

E. 诺特是 20 世纪最伟大的女数学家，她也是代数几何学家马克斯·诺特的女儿。在 E. 诺特之前，代数学基本上只局限在实数域和复数域中进行研究，是 E. 诺特首先认识到代数结构是代数学中的首要概念，她对建立起抽象代数学的基本理论框架起着主要的作用。范德瓦尔登（van der Waerden）所写的两卷名著《代数学》就是为系统总结 E. 诺特和 E. 阿丁（E. Artin）的环论以及其他抽象代数理论而写的。E. 诺特将戴德金的代数数域的理想分解理论推广到一般的环上，得到了许多像“任何理想均可表示为准素理想的交”这样的基本定理，特别是关于“诺特环”这样的在代数几何中最常用到的概念和相关理论。

范德瓦尔登也对代数几何的逻辑基础建设，有过重要的贡献，他在 1930 年代写了一系列的文章，用抽象代数的方法解释了以往代数几何学家们直观笼统的“一般点（generic point）”和“特殊化（specialization）”的真正含义，给出了在相交理论中最基本的代数簇相交重数（intersection multiplicity）的严格定义。尤其值得一提的是：范德瓦尔登的学生和主要合作者周炜良也参与到了代数几何基础的重建工作中。周炜良是一位出生于上海的中国数学家，他的一生对代数几何有着许多基本的贡献，其中最有名的是关于解析簇与射影簇等价的周定理，他还证明了代数簇上闭链（cycle）的有理等价性定理，从而就可以定义一种重要的环——周环（Chow Ring），它现在是相交理论中的一个基础术语。


图 10 ：范德瓦尔登与周炜良

另一位在代数几何中大规模引入抽象代数方法的数学家是扎里斯基（Zariski）。扎里斯基原来是意大利学派三位主要代表大师的学生，他对经他整理的意大利学派成果的证明严密性不足而感到不安和失落，所以他决定用抽象代数的方法来重新给出所有的证明。开始的时候，扎里斯基仅仅是将几何的语言“翻译”成代数的语言，但是他很快意识到将经典代数几何里的定理平行地翻译成当时的抽象代数语言是远远不够的，很多时候扎里斯基必须自己重新发明新的抽象代数概念，并建立相关的抽象代数理论，才能满足描述代数簇复杂性质的需要。例如在给出重要的代数曲面奇点解消定理证明的时候，扎里斯基就第一次成功地将环论中的整闭包的理论与克鲁尔的赋值环的理论运用到了代数几何中，并且还创造了一个被称为“正规（normal）”的新的抽象代数概念。到后来，在代数几何里所需要用到的交换环知识是如此之多，以至于扎里斯基和他的合作者专门写了两卷《交换代数》，来作为人们学习代数几何的预备知识。


图 11 ：扎里斯基在代数几何中引入抽象代数方法

扎里斯基还定义了在代数几何中特有的“扎里斯基拓扑”的概念，其中一律将代数集的补集都定义为“开集”。我们可以设想，任何两个这样的开集的交集都不是空集，因此在这种比较粗放的拓扑里就不会有通常点集拓扑中的豪斯多夫（Hausdorff）分离性公理。尽管如此，扎里斯基拓扑却非常适合研究代数簇性质的需要。

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五、整体微分几何方法的引入

黎曼用分析的方法研究代数簇的传统深深地影响了 20 世纪对于代数几何的研究。首先，整体微分几何的先驱外尔（Weyl）在研究克莱因（F. Klein）关于黎曼曲面的著作基础上，在 1913 年写了《黎曼曲面的概念》这本极重要的著作，其中首次给出了黎曼曲面的现代定义，系统整理了黎曼曲面的解析理论。从外尔给出的黎曼曲面内蕴定义出发，人们就不难得到高维微分流形的一般定义，即微分流形是局部同胚于欧氏空间的拓扑空间，并且所有的坐标邻域之间的转换函数都是可微函数。当然，代数簇不一定是微分流形，因为它可以包含奇点。然而从研究微分流形的过程中所产生的几何方法和理论大多都可以被用到代数几何的研究当中。实际上，微分流形的定义就是后来的概形定义的源头，这两个定义都强调不依赖外部的空间而独立存在，而且局部都是与比较简单的几何对象同胚（或同构）。


图 12 ：整体微分几何的先驱外尔

同样是在 20 世纪早期，列维-齐维塔（Levi-Civita）为了弄清楚黎曼所发现的复杂的曲率张量的真正含义，而提出了黎曼流形中“平行移动”的简单概念。外尔则进一步将它发展成为“仿射联络（affine connection）”这一现代微分几何的基本概念。所谓“联络”，简单地说就是切空间的求导法则，它在本质上已经与空间的度量无关。就像黎曼将度量从空间中分离出来一样，外尔也将联络从度量当中分离了出来。




图 13 ：整体微分几何的先驱 E. 嘉当



而要让纤维丛真正进入代数几何，靠的是另一位数学家韦伊（Weil）的努力。韦伊是陈省身先生一生的挚友，有十年的时间他们在一起工作，共同探讨了纤维丛的理论。在 1950 年，韦伊首先发现了纤维丛理论可以用到代数几何中，这是因为他看出：复流形上的每个除子都对应了一个线丛（line bundle ，即秩为 1 的向量丛），而反映流形拓扑性质的主要指标欧拉-庞加莱示性数也必须用流形切丛的陈类来表达。接着很快，高维代数簇的黎曼-罗赫定理也被其他数学家通过运用了纤维丛和层论（sheaf theory）而发现和证明。这样，纤维丛理论就和差不多同时发展起来的层论融合在一起，成为了推动代数几何向前发展的强有力武器。

六、现代数论中的韦伊猜想

韦伊可以说是 20 世纪现代数学中涉猎最广的数学家，他对几乎所有的基础数学主要分支学科都作出了重大的贡献，它们分别是抽象代数、数论、算术代数几何、代数几何、整体微分几何、代数拓扑、李群和李代数、分析学等领域。韦伊研究代数几何的动机主要来源于数论——他很早就想证明著名的黎曼猜想。




图 14 ：20 世纪的大数学家韦伊

为了证明这个猜想，韦伊需要使用经典代数几何的方法，所以他必须解决经典代数几何的基本概念模糊不清、理论基础不稳的严重问题。为此韦伊在 1946 年专门写了一本书《代数几何基础》，在这部重要的著作中，韦伊仿照微分流形的定义，首先提出了内蕴的“抽象代数簇”的定义，他用有理函数作为转换函数，将局部的比较简单的仿射簇粘贴在一起，成为了一个抽象代数簇，从而彻底摆脱了外在射影空间的束缚，极大地扩展了代数几何的适用范围。韦伊还在他的抽象代数簇上首次使用了扎里斯基拓扑。在此基础上，韦伊用自己的方式建立了一整套代数几何的基础理论。他用交换代数的语言，引入了代数几何中的一批重要的概念，包括闭链、一般点、特殊化、相交重数和曲面上的对应等。虽然从表面上看，韦伊所建立的这些理论后来好象都被概形理论完全取代了，但其实它们只是换了一种形式，最终都被吸收进了概形理论中。

1946 年，在上面这本书出版之后不久，韦伊终于证明出了他的关于有限域上代数曲线的黎曼猜想。然后在 1948 年，韦伊根据他对阿贝尔簇和格拉斯曼簇等高维代数簇在有限域上的点数所做的计算结果，并且在拓扑学的启发下，提出了高维代数簇上与黎曼猜想类似的“韦伊猜想”。这个令人感觉是石破天惊的韦伊猜想，显示了在有限域上代数簇的算术（arithmetic，即数论）性质与复数域上的代数簇拓扑性质之间具有非常深刻的联系。

七、层论的用处

要想证明韦伊猜想，数学家们需要太多的数学工具，其中就包括了还没有被创造出来的概形理论。概形的概念中包含了两个方面的内容，第一个内容是抽象的“几何对象”，第二个内容是它上面的各种“函数”，也就是层。层论最早是由法国数学家勒雷（Leray）在 20 世纪 40 年代初提出的，他在二战前主要研究偏微分方程，二战中他被关进监狱，为避免让德军派去做应用性的研究，他在监狱里只研究属于基础数学的层论。


图 15 ：勒雷创立了层论




图 16 ：H. 嘉当与多复变函数论、同调代数

另一位大力推动让层论进入代数几何的数学家是塞尔（Serre）。塞尔曾经在早年研究了拓扑学中非常困难的球面同伦群的计算问题，以后他就参与到了 H. 嘉当领导的多复变函数论和层论的研究中。和不少数学家一样，其实塞尔的最终研究目标之一也是想证明韦伊猜想。塞尔在一种允许有奇点的施泰因（Stein）复流形上引入了十分重要的凝聚层（coherence sheaf）的概念（它可以看成是纤维丛的某种模拟），凝聚层的上同调群具有十分良好的性质。接着塞尔又看出层论也可以用在比施泰因流形更特殊的复代数簇上，于是他就立即系统地将层论大规模地运用到了代数几何中。


图 17 ：塞尔在代数几何中大规模引入了层论



八、概形理论的创立

实际上早在 20 世纪 50 年代的时候，就已经有人想到了概形这个比塞尔簇更基础的概念，但是没有人真正敢去实际建立这个概形理论。这是因为如果要将概形作为代数几何的最基本的研究对象，那么就等于是将迄今为止建立起来的整个代数几何的理论大厦推倒重来，并且构建这个空前庞大的概形理论，需要综合一百多年来所产生的代数、分析、几何、数论与拓扑等学科的大量主要成果，以其工作量之浩大，就十分需要一个像格罗滕迪克那样的超级天才式的人物。


图 18 ：伟大的数学家格罗滕迪克

1928 年 3 月 28 日，格罗滕迪克出生于德国柏林的一个犹太家庭，他在开始其数学研究的生涯时，所研究的领域是泛函分析中的拓扑线性空间。在这之后，格罗滕迪克投入到了同调代数的研究中。也是在那个时期，他开始了与塞尔的长期著名通信。从塞尔以及其他的数学家那里，格罗滕迪克学到了许多现代数学和代数几何的基本知识，转而对代数几何和数论产生了浓厚的兴趣。他研究建立代数几何基础理论的强烈动机之一其实也是为了想证明那个与黎曼猜想类似的有限域上高维代数簇的韦伊猜想。




图 19 ：仿射概形的基本想法

这个构想仿射概形的过程有点类似于戴德金和韦伯从复数域的有限扩张出发来构造抽象的“代数曲线”一样。格罗滕迪克通过构造一种类似于仿射簇那样的抽象的几何对象“仿射概形”，使得每一个交换环都成为了这种仿射概形的坐标环。我们可以这样来表示这些对应关系：



1958 年 8 月，格罗滕迪克在爱丁堡举行的国际数学家大会上作了一个报告。他的这个报告预告了其未来十年的工作，相当于是给出了庞大的概形理论的提纲。后来被誉为“代数几何的圣经”的八卷《代数几何学原理》（简称 EGA ），就是格罗滕迪克在 1960-1967 年间按照这个提纲来写的。

仿射概形具体的构造过程是这样的：首先设 R 是一个任意的交换环，记 X=SpecR 为 R 中所有素理想的集合，则 X 就是我们所需要的“几何空间”，它上面的每一个“点”都是一个素理想。



在有了以上关于仿射概形的预备概念后，格罗滕迪克就能够定义概形了。在著名的 EGA 的第一卷第一章中，我们看到下面的两个定义：

格罗滕迪克在前一个定义里所说的“仿射开集”与后一定义中的“仿射开领域”的含义是一样的。换句话说，概形就是局部同构于仿射概形的环层空间，或者也可以将概形粗略地理解为是将一些仿射概形经过适当的“粘贴”后而得到的。由于仿射概形是仿射簇的推广，因此很明显：概形确实是经典代数簇的抽象推广。


图 20 ：格罗滕迪克写的《代数几何学原理》（EGA） 第一卷的中译本

格罗滕迪克的概形理论将代数几何打造成了一个在很大程度上将几何、代数、数论与分析完美统一起来的逻辑推理体系，它具有许多经典代数几何理论所没有的优点。例如在概形上，可以有严格的“一般点（generic point）”、“基变换（change of bases）”、以及“幂零元（nilpotent element）”等非常有用的概念，并且可以用精细的抽象代数的方法来研究几何对象的各种抽象的“几何性质”，这样就为解决一大批重要的经典数学问题开辟了道路。同样在概形上，我们可以做所有的在经典代数簇上曾经做过的事情，例如可以定义广义的“纤维丛”（即模层）、“除子”和“微分”，可以有层的上同调理论（包括 Serre 的对偶定理等），可以建立严格的代数簇分类理论和和一般的黎曼-罗赫定理，以及建立严格的相交理论（包括周环和陈类）等等。在概形上也能够做以前根本无法做到的事情，例如可以构造模空间的严格理论，尤其是可以建立能够应用于数论的“算术代数几何”理论等。

在写完了 EGA 之后，格罗滕迪克和他的合作者们又一起马不停蹄，继续撰写书名简称为 SGA 的另外八卷系列的代数几何专著。就这样，通过总篇幅达 7500 页的 EGA 和 SGA 这两套书的写作，格罗滕迪克在 20 世纪 60 年代末，终于将经典的代数簇理论推广成了适用面更广的概形理论，真正为整个代数几何建立起了一个牢固的逻辑基础，并且彻底重写了代数几何。

不过，先进的概形理论并不意味着它是容易掌握的。恰恰相反，人们需要付出巨大的努力，还需要掌握大量的交换代数与同调代数，才能够真正理解和掌握概形理论。往往在经典代数几何中是寥寥数语的事情，到了概形理论中叙述就比较长。例如前面曾经说过，在概形理论所采用的扎里斯基拓扑中，没有豪斯多夫的分离性公理，因此在实际需要研究代数簇的分离性质的时候，就需要用比较复杂的映射性质来间接地刻画分离性。

在今天，如果要让我们直接通过阅读格罗滕迪克的 EGA 来学习概形理论的话，是有许多困难的。主要的问题还在于它的极端一般的抽象性，以及它的篇幅巨大。好在代数几何学家哈茨霍恩（Hartshorne）在 1977 年写了一本极好的研究生教材《代数几何》（有科学出版社的中译本），它可以看成是 EGA 的一个浓缩简写本。


图 21 ：哈茨霍恩写的《代数几何》中译本

九、概形理论推动了代数几何的大发展

代数几何学家西里贝托（C. Ciliberto）曾说：“虽然概形来源于代数簇及它们之间的映射，但可以说在代数几何中其实到处都有概形，例如概形可以作为映射的像、映射的纤维，以及用来作为对射影空间中的代数簇进行参数化的模空间等等。人们逐渐发现概形和凝聚层的上同调正是进一步发展代数几何所需要的最合适的语言，这种语言曾经是德国学派和意大利学派所热切盼望的。格罗滕迪克的概形理论完全实现了范德瓦尔登、韦伊和扎里斯基要为代数几何打造一个坚实严格的逻辑基础的梦想，他们曾经非常急切地希望创造一种能够同时描述代数簇的拓扑性质和的算术性质的新的普遍性语言。”（见《Development of Mathematics（1950-2000）》一书）。


图 22 ：中年和晚年的格罗滕迪克

后来的历史发展证明，当经典代数几何的逻辑基础问题被彻底解决后，代数几何便立即在20世纪的后半叶取得了巨大进展。下面列举了一些通过运用概形理论而获得的重大成果：

1．芒福德（Mumford）建立了一般模空间的理论；

2．广中平佑解决了任意维数代数簇的奇点解消问题；

3．德利涅（Deligne）证明了数论中韦伊猜想；

4．法尔廷斯（Faltings）证明了数论中的莫德尔（Mordell）猜想；

5．森重文在 3 维代数簇的分类研究中取得了关键性的突破；

6．怀尔斯（Wiles）证明了数论中著名的费马大定理。

不仅如此，伴随着这些重大问题的解决过程，同时又出现了一大批全新的数学研究领域，其中尤其令人想不到的是概形理论对于数学物理的研究所产生的巨大推动作用，而在量子场论中出现的许多新思想（例如弦理论、镜像对称和量子上同调等），反过来又促进了对代数簇的拓扑和计数几何的研究。

最近，胥鸣伟老师在他刚出版的《代数几何讲义》（高等教育出版社 2021 年）一书中这样写道：“从黎曼，到主要以结式为工具，处理可构造性问题的经典学派，到具很强直观性的意大利学派，再到建立严格基础的扎里斯基，范德瓦尔登，韦伊，最后到了格罗滕迪克的概形理论：这是一个美妙的极具威力的理论，是 20 世纪数学的最伟大成就之一，至今仍继续向前发展，深入到许多领域。在本书中，我们试图沿这条路线游览一遍，为进一步研究更深的代数几何相关内容打好基础，诸如代数几何的根本问题：分类（包括现在热点的双有理几何），与理论物理（例如超弦理论）紧密相关的模簇理论，与数论相关的算术代数几何（即在 Q ，Z 或有限域上的代数几何），与 K 理论相关的周环理论，等等。总之，代数几何是现代数学，特别是理论数学的最重要的基础之一，它将为你提供思考数学问题的另一种强大平台。”

人们常说格罗滕迪克“有一种关于数学可能是什么的高屋建瓴般的观点”。数学家巴斯（Bass）就曾评价：格罗滕迪克用一种“宇宙般普适”的观点改变了整个数学的全貌。我们不妨可以简单地将代数几何看成是“用多项式研究几何、用几何的想法研究多项式”的学科。特别是从代数几何中体现出来的代数与几何相互作用的方式，具有普遍的意义，目前这种思想方法已经渗透到了几乎所有的现代数学各主要分支学科中。

文稿|陈跃

编辑|朱善军