新年伊始好题连连

yangchuanju

费尔马1 发表于 2023-1-2 14:42
A^20+B^23=C^2023
其中一个解集公式是：
A=2^(46529k+37122)

解鲁思顺不定方程X^22+Y^14=Z^34.
这题难点。

凑指法，令X中的3的指数等于(14*34*m1+2)/22；
试整除得m1=3，
X中的3的指数等于(14*34*m1+2)/22=65；
Y中的3的指数等于34*m1=102；
Z中的3的指数等于14*m1=42；
X^22中的3的指数等于65*22=1430；
Y^14中的3的指数等于102*12=1428；
Z^34中的3的指数等于42*34=1028。

令Y中的4的指数等于(22*34*m2+2)/14；
试整除得m2=2，
X中的4的指数等于34*m2=68；
Y中的4的指数等于（22*34*m2+2）/14=107；
Z中的4的指数等于22*m2=44；
X^22中的4的指数等于68*22=1496；
Y^14中的4的指数等于107*14=1498；
Z^34中的4的指数等于44*34=1496。

令Z中的5的指数等于(22*14*m3+2)/34；
试整除得m3=16，
X中的5的指数等于14*m2=224；
Y中的5的指数等于22*m3=352；
Z中的5的指数等于(22*14*m3+2)/34=145；
X^22中的5的指数等于224*22=4928；
Y^14中的5的指数等于352*14=4928；
Z^34中的5的指数等于145*34=4930。

综合到一起，原方程有一组特解：
X=3^65*4^68*5^224；
Y=3^102*4^107*5^352；
Z=3^42*4^44*5^145；
X^22=3^1430*4^1496*5^4928
Y^14=3^1428*4^1498*5^4928
Z^34=3^1428*4^1496*5^4930
X^22+Y^14=Z^34.
将特解中的3个底数3,4,5换成另一组勾股数，又是一个特解！


22,14,34的最小公倍数是2618；
2618除以22,14,34等于119,187,77；
X,Y,Z中的3的指数的周期系数分别为119,187,77；
X^22，Y^14，Z^34中的3的指数的周期系数都是2618；
同样X,Y,Z中的4和5的指数周期系数也都是119,187,77；
X^22，Y^14，Z^34中的4和5的指数的周期系数也都是2618；
综合到一起，方程X^22+Y^14=Z^34有一组通解：
X=3^(119t+65)*4^(119t+68)*5^(119t+224)；
Y=3^(187t+102)*4^(187t107)*5^(187t+352)；
Z=3^(77t+42)*4^(77t+44)*5^(77t+145)；
X^22=3^(2618t+1430)*4^(2618t+1496)*5^(2618t+4928)；
Y^14=3^(2618t+1428)*4^(2618t+1498)*5^(2618t+4928)；
Z^34=3^(2618t+1428)*4^(2618t+1496)*5^(2618t+4930)；
X^22+Y^14=Z^34。
式中t大于等于0的整数（自然数）。
将特解中的3个底数3,4,5换成另一组勾股数，又是一组通解！

请程中战、鲁思顺两位老师校核！

yangchuanju

将鲁思顺方程改为
X^11+Y^7=Z^17.
的一个特解是：
X=3^11*4^17*5^91；
Y=3^17*4^27*5^143；
Z=3^7*4^11*5^59；
X^22=3^121*4^187*5^1001
Y^14=3^119*4^189*5^1001
Z^34=3^119*4^187*5^1003
X^22+Y^14=Z^34.
将特解中的3个底数3,4,5换成另一组勾股数，又是一个特解！

11,7,17的最小公倍数是1309；
1309除以11,7,17等于119,187,77；
X,Y,Z中的3的指数的周期系数分别为119,187,77；
X^11，Y^7，Z^17中的3的指数的周期系数都是1309；
同样X,Y,Z中的4和5的指数周期系数也都是119,187,77；
X^11，Y^7，Z^17中的4和5的指数的周期系数也都是1309；
综合到一起，方程X^11+Y^7=Z^17有一组通解：
X=3^(119t+11)*4^(119t+17)*5^(119t+91)；
Y=3^(187t+17)*4^(187t+27)*5^(187t+143)；
Z=3^(77t+7)*4^(77t+11)*5^(77t+59)；
X^11=3^(1309t+121)*4^(1309t+187)*5^(1309t+1001)；
Y^07=3^(1309t+119)*4^(1309t+189)*5^(1309t+1001)；
Z^17=3^(1309t+119)*4^(1309t+187)*5^(1309t+1003)；
X^11+Y^7=Z^17。
式中t大于等于0的整数（自然数）。
将特解中的3个底数3,4,5换成另一组勾股数，又是一组通解！

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2023-1-5 09:01
不定方程A^4+B^6=C^10有解吗？
4,6,10最小公倍数等于60，除以4,6,10分别等于15,10,6；
方程有通解的话， ...

解费尔马1的大勾股数方程：
（A^2）^2+（B^3）^2=（C^5）^2
即A^4+B^6=C^10
A=256*uv*(u^4-v^4)^(15k+10)*(u^4+v^4)^(15k+12)
B=32*(u^4-v^4)^(10k+7)*(u^4+v^4)^(10k+8)
C=8*(u^4-v^4)^(6k+4)*(u^4+v^4)^(6k+5)
其中，u、v为正整数，u＞v，k为0或正整数。

验：令u=2，v=1，k=0；
A=256*uv*(u^4-v^4)^(15k+10)*(u^4+v^4)^(15k+12)=256*2*15^10*17^12
B=32*(u^4-v^4)^(10k+7)*(u^4+v^4)^(10k+8)=32*15^7*17^8
C=8*(u^4-v^4)^(6k+4)*(u^4+v^4)^(6k+5)=8*15^4*17^5
A^4=2^36*15^40*17^48=2^30*15^40*17^48*8^2
B^6=2^30*15^42*17^48=2^30*15^40*17^48*15^2
C^10=2^30*15^40*17^50=2^30*15^40*17^48*17^2
8,15,17是一组勾股数，
A^4+B^6=C^10有一组特解。

验：令u=3，v=2，k=0；
A=256*uv*(u^4-v^4)^(15k+10)*(u^4+v^4)^(15k+12)=256*6*65^10*97^12
B=32*(u^4-v^4)^(10k+7)*(u^4+v^4)^(10k+8)=32*65^7*97^8
C=8*(u^4-v^4)^(6k+4)*(u^4+v^4)^(6k+5)=8*65^4*97^5
A^4=2^32*6^4*65^40*97^48=2^30*65^40*97^48*(2*36)^2
B^6=2^30*65^42*97^48=2^30*65^40*97^48*65^2
C^10=2^30*65^40*97^50=2^30*65^40*97^48*97^2
72,65,97是一组勾股数，
A^4+B^6=C^10又有一组特解。

lusishun

是您的题目，促使我发现了凑指（数）法，这叫做碰出智慧的火花。

费尔马1

yangchuanju 发表于 2023-1-8 08:30
解鲁思顺不定方程X^22+Y^14=Z^34.
这题难点。

老师的解法特别，学生慢慢地学习。

费尔马1

yangchuanju 发表于 2023-1-5 09:01
不定方程A^4+B^6=C^10有解吗？
4,6,10最小公倍数等于60，除以4,6,10分别等于15,10,6；
方程有通解的话， ...

方程2无正整数解，除非令B=0，A=C=1，A^20^2+B^23^2=C^2023^2才有解。
这个不定方程可以是A^400+B^529=C^4092529有正整数解，因为三个指数两两互质。
不定方程可以是A^40+B^46=C^4046也有正整数解，因为三个指数约去因子2以后两两互质。