线性空间 欧氏空间 度量空间三者之间是什么关系？

wufaxian

问题：
1、线性空间的定义1有错误吧？上来就说给定域。线性空间中没有定义向量乘法，不满足域公理（域公理中有几条乘法的公理）。
2、欧氏空间算是线性空间的子集么？感觉就是线性空间的基础上定义了点积和模长。
3、度量空间和线性空间是什么关系？感觉度量空间这三条在线性空间中都成立啊！所以度量空间算是线性空间的子集么？
4、既然说到空间。有没有类似于“xxx在线性空间中 但是不在欧式空间中”这样的问题？
5、最下方图片关于各个空间的关系是否正确？



下方是我在网上找到的线性空间的定义：

定义1:
给定域F，F上的向量空间V是一个集合，其上定义了两种二元运算：

向量加法 + : V + V → V，把V中的两个元素 u 和 v 映射到V中另一个元素，记作 u + v；
标量乘法 · : F × V → V，把F中的一个元素 a 和 V 中的一个元素u变为V中的另一个元素，记作 a ·u。
V中的元素称为向量，相对地，F中的元素称为标量。

而集合V公理[1]才构成一个向量空间（对F中的任意元素a、b以及V中的任意元素u、v、w都成立）：


定义2:



欧氏空间定义：普林斯顿数学分析P60



度量空间：普林斯顿数学分析P85


各空间的关系图：
来源：https://zhuanlan.zhihu.com/p/541226732

任在深

这空间，那空间实际就是宇宙空间！
请看！