解答哥德巴赫猜想的最大难点是什么？—— 习惯性思维

愚工688

哥德巴赫猜想的最大难点是什么？—— 习惯性思维。


对于任意一个大于5的偶数2A，能否拆分成两个素数？
中外的哥猜研究的数学家们都不约而同的采用了p与(M-p)模式，在随意选定一个素数p后，再来分析(M-p)的表达形式。于是有了:

1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”， 中国的王元证明了“1 + 4”。

1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。

1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。

对于诸如把偶数M所拆分为p与(M-p)这个模式的“1+9、1+8、……、1+2”等等关于《歌德巴赫猜想》问题的数论论述，无一例外的把一个偶数所拆分成的两个数分别地进行讨论了。

事实上，任意一个偶数2A，（2A=M）拆分成两个整数，必然能表示为{ A-x, A+x}的形式。因此偶数2A拆分成的这两个整数能否成为素数对，只与唯一的变量x有关联。

素数的定义：不能被除了1与自身外的自然数整除的数。为减少判断素数时的除数数量，常用Eratosthenes筛法（简称埃氏筛法）：p不能被小于或等于根号p的所有素数整除时就是素数。这是判断素数的通用常识。

对“偶数M分成两个大于2的整数A-x与A+x ”，对应的x取值区间[0，A-3]，用其中最大整数M-3的“埃氏筛法”来判断，即用小于√(M-2)的所有素数2，3，…，n，…，r （r为其中最大的素数，下均同）来对A-x与A+x 作判断：

a) 若x能使分成的两个整数A-x与A+x 都不能被小于根号(M-2)的所有素数整除时，两个数都是素数；

b) 若分成的两个整数中的A+x 不能被 小于根号√的所有素数整除，而A-x能被某个素数整除但商为1时，两个数也都是素数。

若把偶数M的符合a条件的分法数记为S1(m)，符合b条件的分法数记为S2(m)，由上述的两点即可得到偶数M分成两个素数的全部分法数量S(m)，

有：S(m)=S1(m)+S2(m)； {式1}



要使得偶数M拆分成的两个数{ A-x, A+x}成为素数对，变量x必然与A之间有对应的关系。

由于变量的取值区域是一个与偶数2A所对应的自然数区域【0，A-3】，这里不用【0，A】，是因为1既不是素数也不是合数，排除在外。

自然数中的数在除以任意一个素数的余数呈现周期性变化：

除以2时的余数变化：0、1、0、1、0、1、…；

除以3时的余数变化：0、1、2、0、1、2、…；

除以5时的余数变化：0、1、2、3、4、0、1、2、3、4、…；

……

除以r时的余数变化：0、1、2、…、r-2、r-1、0、…；



由给定偶数2A确定了A除以≤√(M-2)的所有素数的余数：j2、j3、j5、j7、…jr；

而对应了变量x的余数条件为与A的余数不构成同余关系，即

除以2，余数不等于j2；

除以3，余数不等于j3与（3-j3）；

除以5，余数不等于j5与（5-j5）；

除以7，余数不等于j7与（7-j7）；

……

在每个素数的周期性变化的余数中，排除了与A的余数构成同余关系的余数后，必然有筛余的余数。

而每个素数余数周期性变化之中，都有不与A的余数构成同余关系的余数，每个素数各取一个余数的组合，其对应数中处于[0，A-3]范围的数x，则即是哥猜解值，与A构成素对A±x。这样的素数对必然能够满足条件a的要求。

因此，不与A在除以√(M-2)的素数构成同余关系的变量x，这是解答哥德巴赫猜想的关键点。


实例一：不与A构成同余关系的变量x

小偶数时M=6、8、10；≤√(M-2)的最大素数为2；

6：A=3，A的j2=1，x/2的余数取0；即6=3+3 ；

8：A=4，A的j2=0，x/2的余数取1；即8=（4-1）+（4+1）=3+5；

10：A=5，A的j2=1，x/2的余数取0；[0，A-3]范围的数x有0，2，即有10=5+5=（5-2）+（5+2）；



例二，偶数98的x的对应余数条件以及能够构成素对的变量x值

由偶数98的半值49除以2、3、5、7的余数条件49（j2=1,j3=1,j5=4,j7=0),

得出x的余数条件:x(y2=0,y3=0,y5≠1、4,y7≠0），

即x的余数条件：2（0）、3（0）、5（0，2，3）、7（1，2，3，4，5，6），

共有以下不同素数的余数组合18组及依据中国剩余定理的解值，它们散布于[0，209]区域：

（0,0,0,1）-120，（0,0,0,2）-30， （0,0.0,3）-150，（0,0,0,4）-60， （0,0,0,5）-180，（0,0,0,6）-90；

（0,0,2,1）-162，（0,0,2,2）-72， （0,0,2,3）-192，（0,0,2,4）-102, （0,0,2,5）-12， （0,0,2,6）-132；

（0,0,3,1）-78， （0,0,3,2）-198， （0,0,3,3）-108，（0,0,3,4）-18， （0,0,3,5）-138，（0,0,3,6）-48；

其中处于x值取值区域[0，46]内的x值有：30，12，18，

因此偶数98的素对有49±30，49±12，49±18 。



例三, 偶数100的能够构成素数对的变量x的对应余数条件

由偶数100的半值50除以2、3、5、7的余数条件50（j2=0,j3=2,j5=0,j7=1),

得出x的余数条件:x(y2=1,y3=0,y5≠0,y7≠1与6），

即x的余数条件：2（1）、3（0）、5（1，2，3，4）、7（0，2，3，4，5），

它们能够组成以下不同余数的20种组合：

（1,0,1,0),（1,0,1,2),（1,0,1,3),（1,0,1,4),（1,0,1,5);

（1,0,2,0),（1,0,2,2),（1,0,2,3),（1,0,2,4),（1,0,2,5);

（1,0,3,0),（1,0,3,2),（1,0,3,3),（1,0,3,4),（1,0,3,5);

（1,0,4,0),（1,0,4,2),（1,0,4,3),（1,0,4,4),（1,0,4,5);

运用中国剩余定理，每组不同的余数条件组合在素数连乘积内（此题即２×３×５×７＝210 个连续自然数中）对应于一个唯一的整数，有

（1,0,1,0)=21, （1,0,1,2)=51, （1,0,1,3)=171,（1,0,1,4)=81, （1,0,1,5)=201;

（1,0,2,0)=147,（1,0,2,2)=177,（1,0,2,3)=87, （1,0,2,4)=207,（1,0,2,5)=117;

（1,0,3,0)=63, （1,0,3,2)=93, （1,0,3,3)=3, （1,0,3,4)=113,（1,0,3,5)=33;

（1,0,4,0)=189,（1,0,4,2)=9, （1,0,4,3)=129,（1,0,4,4)=39, （1,0,4,5)=159;

其中处于x值取值区域[0，47]内的x值有：21，9，3，33，39，

因此偶数100的能够组成素数对的变量 x : 3 , 9 , 21 , 33 , 39 ,( 47 ——符合条件b),

代人A±x,得到符合条件a的全部素对：

[ 100 = ] 47 + 53，41 + 59，29 + 71，17 + 83，11 + 89，（3 + 97 ）

M= 100 S(m)= 6 S1(m)= 5 Sp(m)≈ 4.571 δ1(m)≈-.086 K(m)= 1.33 r= 7

* Sp( 100)=[( 100/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 4/ 5)*( 5/ 7)= 4.571



例四，构成素数对的变量x的筛选与它的数量的计算实例：

偶数908，其√（908-2）内的最大素数是29，其半值A= 454，其分成两个素数对A±x的变量x的取值区间[0，A-3]中含有的整数为( 908/2- 2)个，

因此，其构成素对的x值的计算式是：

Sp( 908)=[( 908/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)*( 27/ 29)= 15

具体到每一步的含义：

1/2——[0，A-3]中满足除以2的余数不等于j2的数的发生概率；

( 1/ 3)—— [0，A-3]中满足除以3的余数不等于j3与（3-j3）的数的发生概率；

( 3/ 5)—— [0，A-3]中满足除以5的余数不等于j5与（5-j5）的数的发生概率；

( 5/ 7)—— [0，A-3]中满足除以7的余数不等于j7与（7-j7）的数的发生概率；

……

这里的j2,j3,…,jn,…，jr系偶数半值A除以素数2，3，…，n，…，r时的余数。

因此依据概率的独立事件的乘法定理：

在自然数[0，A-3]区域中除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r-jr)的x值的分布概率P(m)，

有P(m)=P(2·3·5·…·n·…·r))

=P(2)P(3)…P(n)…P(r).

即有

Sp( 908)=( 908/2- 2)*P(m)=[( 908/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)*( 27/ 29)= 15

A= 454 ，

x= : 33 , 45 , 87 , 117 , 123 , 147 , 177 , 255 , 273 , 297 , 303 , 315 , 357 , 375 , 423 ,

变量代入到素数对表达式A±x ,可得

[ 908 = ] 421 + 487、 409 + 499 、 367 + 541、 337 + 571、 331 + 577 、 307 + 601、 277 + 631、 199 + 709、 181 + 727、 157 + 751 、 151 + 757、 139 + 769、 97 + 811、 79 + 829 、 31 + 877

M= 908 S(m)= 15 S1(m)= 15 Sp(m)≈ 15 δ1(m)≈ 0 K(m)= 1 δ(m)≈ 0



如果把连续偶数的符合条件a的素数对数量S1，与满足爱氏筛法的变量x的计算值Sp(m)的值点在平面坐标图上面分别连接起来，得到的图形中可以看到，S1与Sp(m)的图形是非常相近的，波动的规律基本一致：







虽然由于屏幕的限制，不能清晰的显示更大的连续偶数的拆分成素数对的数据图形，但是我们也不难发现，连续偶数中的素数对数量的低位值是随着偶数的增大而逐渐上升的。

随着偶数√(M-2)内的素数的增多，由于越大的素数r其不等于jr及(r -jr)的部分最大占比为2/r，愈来愈小，即筛除作用趋弱。越来越大的素数r导致其x值除以素数2，3，5，7，……r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r -jr)时的余数条件的不同组合相应增多，因而处于[0，A-3]范围内的x值的低位数量相应也愈来愈多。

因此无论偶数有多大，不与A在除以√(M-2)的全部素数构成同余关系的变量x 是始终存在的，这是解答哥德巴赫猜想的关键点。



对于偶数能够构成素数对的数量的计算式如前介绍的素数连乘式之外，也可以使用类似哈代-李德伍兹那样的对数计算式。
这里介绍我自己改编的素数对计算式之二：Xi(M)

计算实例：以今天日期为随机偶数的连续偶数素数对数量的计算

偶数素数对计算式 ：Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2 ;

式中：t2=1.358-(log(M))^(.5)*0.05484;c1:只计算√M内素数的类似拉曼扭杨系数。

G(20230104) = 111254  ;Xi(M)≈ 110647.21  ， δxi(M)≈?-0.005456；

G(20230106) = 58777    ;Xi(M)≈ 58341.26    ，δxi(M)≈?-0.007418；

G(20230108) = 53665    ;Xi(M)≈ 53479.49    ，δxi(M)≈?-0.003466；

G(20230110) = 155964  ;Xi(M)≈ 155398.99  ，δxi(M)≈?-0.003623；

G(20230112) = 64224    ;Xi(M)≈ 64175.41    ，δxi(M)≈?-0.000763；

time start =13:03:14, time end =13:03:14
可以看到，实际的连续偶数素数对的计算值的相对误差都是比较小的。

编辑于 2023-01-04 13:15・IP 属地上海