数学中国

用户名  找回密码
 注册
帖子
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 3453|回复: 8

欧拉四方恒等式

[复制链接]
发表于 2023-1-17 14:53 | 显示全部楼层 |阅读模式
欧拉四方恒等式
惊人的多项式恒等式
(a1^2+a2^2+a3^2+a4^2)*(b1^2+b2^2+b3^2+b4^2)
=(a1b1-a2b2-a3b3-a4b4)^2+(a1b2+a2b1+a3b4-a4b3)^2
+(a1b3-a2b4+a3b1+a4b2)^2+(a1b4+a2b3-a3b2+a4b1)^2
 楼主| 发表于 2023-1-17 14:59 | 显示全部楼层
5.1.2型丢返图方程A^5=B^5+C^5无解;
5.1.3型丢返图方程A^5=B^5+C^5+D^5无解;
5.1.4型丢返图方程A^5=B^5+C^5+D^5+E^5有解:
27^5+84^5+110^5+133^5=144^5
85282^5+28969^5+3183^5+55^5=85359^5
5.1.5型丢返图方程的2参数解通式:
(75v^5-u^5)^5+(u^5+25v^5)^5+(u^5-25v^5)^5+(10u^3*v^2)^5+(50uv^4)^5=(u^5+75v^5)^5

点评

太棒了!  发表于 2023-1-17 19:47
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2023-1-17 15:04 | 显示全部楼层
3阶丢返图方程网页
https://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation3rdPowers.html

给出的几个通式:
(6)  a^3*(a^3+b^3)^3=b^3*(a^3+b^3)^3+a^3*(a^3-2b^3)^3+b^3*(2a^3-b^3)^3
(7)  a^3*(a^3+2b^3)^3=a^3*(a^3-b^3)+b^3*(a^3-b^3)^3+b^3*(2a^3+b^3)^3
(8)  (3x^2+5xy-5y^2)^3+(4x^2-4xy+6y^2)^3+(5x^2-5xy-3y^2)^3=(6x^2-4xy+4y^2)^3

点评

棒极了!  发表于 2023-1-17 19:47
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2023-1-17 19:28 | 显示全部楼层
本帖最后由 yangchuanju 于 2023-1-17 19:36 编辑

在 1756-1757 年,Euler  给出
A^3+B^3=C^2
的一个单参数解。
其中A=3n^3+6n^2-n
B=-3n^3+6n^2+n
C=6n^2*(3n^2+1)

A^3=27n^9+162n^8+297n^7+108n^6-99n^5+18n^4-n^3
B^3=-27n^9+162n^8-297n^7+108n^6+99n^5+18n^4+n^3
C^2=36n^4*(9n^4+6n^2+1)=324n^8+216n^6+36n^4

A^3+B^3=324n^8+216n^6+36n^4=C^2

点评

这个题没有多大难度吧?  发表于 2023-1-17 19:46
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2023-2-7 06:54 | 显示全部楼层
《数论妙趣》有 欧拉四方 恒等式

http://www.mathchina.com/bbs/for ... 6&fromuid=45368
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2025-3-14 08:34 | 显示全部楼层
顶起来,再研究研究!
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

LaTEX预览输入 教程 符号库 加行内标签 加行间标签 
对应的 LaTEX 效果:

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2025-7-5 05:41 , Processed in 0.091220 second(s), 21 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表
\frac{\square}{\square}\sqrt{\square}\square_{\baguet}^{\baguet}\overarc{\square}\ \dot{\baguet}\left(\square\right)\binom{\square}{\square}\begin{cases}\square\\\square\end{cases}\ \begin{bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{bmatrix}\to\Rightarrow\mapsto\alpha\ \theta\ \pi\times\div\pm\because\angle\ \infty
\frac{\square}{\square}\sqrt{\square}\sqrt[\baguet]{\square}\square_{\baguet}\square^{\baguet}\square_{\baguet}^{\baguet}\sum_{\baguet}^{\baguet}\prod_{\baguet}^{\baguet}\coprod_{\baguet}^{\baguet}\int_{\baguet}^{\baguet}\lim_{\baguet}\lim_{\baguet}^{\baguet}\bigcup_{\baguet}^{\baguet}\bigcap_{\baguet}^{\baguet}\bigwedge_{\baguet}^{\baguet}\bigvee_{\baguet}^{\baguet}
\underline{\square}\overline{\square}\overrightarrow{\square}\overleftarrow{\square}\overleftrightarrow{\square}\underrightarrow{\square}\underleftarrow{\square}\underleftrightarrow{\square}\dot{\baguet}\hat{\baguet}\vec{\baguet}\tilde{\baguet}
\left(\square\right)\left[\square\right]\left\{\square\right\}\left|\square\right|\left\langle\square\right\rangle\left\lVert\square\right\rVert\left\lfloor\square\right\rfloor\left\lceil\square\right\rceil\binom{\square}{\square}\boxed{\square}
\begin{cases}\square\\\square\end{cases}\begin{matrix}\square&\square\\\square&\square\end{matrix}\begin{pmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{pmatrix}\begin{bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{Bmatrix}\begin{vmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{vmatrix}\begin{Vmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{Vmatrix}\begin{array}{l|l}\square&\square\\\hline\square&\square\end{array}
\to\gets\leftrightarrow\nearrow\searrow\downarrow\uparrow\updownarrow\swarrow\nwarrow\Leftarrow\Rightarrow\Leftrightarrow\rightharpoonup\rightharpoondown\impliedby\implies\Longleftrightarrow\leftharpoonup\leftharpoondown\longleftarrow\longrightarrow\longleftrightarrow\Uparrow\Downarrow\Updownarrow\hookleftarrow\hookrightarrow\mapsto
\alpha\beta\gamma\Gamma\delta\Delta\epsilon\varepsilon\zeta\eta\theta\Theta\iota\kappa\varkappa\lambda\Lambda\mu\nu\xi\Xi\pi\Pi\varpi\rho\varrho\sigma\Sigma\tau\upsilon\Upsilon\phi\Phi\varphi\chi\psi\Psi\omega\Omega\digamma\vartheta\varsigma\mathbb{C}\mathbb{H}\mathbb{N}\mathbb{P}\mathbb{Q}\mathbb{R}\mathbb{Z}\Re\Im\aleph\partial\nabla
\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
\because\therefore\angle\parallel\perp\top\nparallel\measuredangle\sphericalangle\diamond\diamondsuit\doteq\propto\infty\bowtie\square\smile\frown\bigtriangledown\triangle\triangleleft\triangleright\bigcirc \wr\amalg\models\preceq\mid\nmid\vdash\dashv\nless\ngtr\ldots\cdots\vdots\ddots\surd\ell\flat\sharp\natural\wp\clubsuit\heartsuit\spadesuit\oint\lfloor\rfloor\lceil\rceil\lbrace\rbrace\lbrack\rbrack\vert\hbar\aleph\dagger\ddagger

MathQuill输入:

Latex代码输入: