函数型丢番图不定方程解结构探讨

yangchuanju

费尔马1 发表于 2023-1-31 08:32
老师您好：
25楼，前三个底数并非一定要局限于2uv,  u^α-v^α,  u^α+v^α；实际上任意给定一组勾股数 ...

重新对费尔马不定方程aX^(2n+1)+bY^(2n+2)=cZ^(4n+3)进行分析知
三指数两两互素，这是基本条件。
X项 2 的非周期指数=(Y指*Z指*m1+2)/X指
X项 uv 的非周期指数=1
X项[u^(2n-1)-v^(2n-1)]的非周期指数=Z指*m2
X项[u^(2n-1)+v^(2n-1)]的非周期指数=Y指*m3
X项系数a的非周期指数=(Y指*Z指*m4-1)/X指
X项系数b的非周期指数=Z指*m5
X项系数c的非周期指数=Y指*m6

Y项 2 的非周期指数=Z指*m1
Y项[u^(2n-1)-v^(2n-1)]的非周期指数=(X指*Z指*m2+2)/Y指
Y项[u^(2n-1)+v^(2n-1)]的非周期指数=Z指*m3
Y项系数a的非周期指数=Z指*m4
Y项系数b的非周期指数=(X指*Z指*m5-1)/Y指
Y项系数c的非周期指数=X指*m6

Z项 2 的非周期指数=Y指*m1
Z项[u^(2n-1)-v^(2n-1)]的非周期指数=X指*m2
Z项[u^(2n-1)+v^(2n-1)]的非周期指数=(X指*Y指*m3+2)/Z指
Z项系数a的非周期指数=Y指*m4
Z项系数b的非周期指数=X指*m5
Z项系数c的非周期指数=(X指*Y指*m6-1)/Z指


aX^(2N+1)项 2 的非周期指数=Y指*Z指*m1+2
aX^(2n+1)项 uv 的非周期指数=X指
aX^(2N+1)项[u^(2n-1)-v^(2n-1)]的非周期指数=X指*Z指*m2
aX^(2N+1)项[u^(2n-1)+v^(2n-1)]的非周期指数=X指*Y指*m3
aX^(2N+1)项系数a的非周期指数=Y指*Z指*m4-1
aX^(2N+1)项系数b的非周期指数=X指*Z指*m5
aX^(2N+1)项系数c的非周期指数=X指*Y指*m6

bY^(2N+2)项 2 的非周期指数=Y指*Z指*m1
bY^(2N+2)项[u^(2n-1)-v^(2n-1)]的非周期指数=X指*Z指*m2+2
bY^(2N+2)项[u^(2n-1)+v^(2n-1)]的非周期指数=Y指*Z指*m3
bY^(2N+2)项系数a的非周期指数=Y指*Z指*m4
bY^(2N+2)项系数b的非周期指数=(X指*Z指*m5-1
bY^(2N+2)项系数c的非周期指数=Y指*X指*m6

cZ^(4N+3)项 2 的非周期指数=Y指*Z指*m1
cZ^(4N+3)项[u^(2n-1)-v^(2n-1)]的非周期指数=X指*Z指*m2
cZ^(4N+3)项[u^(2n-1)+v^(2n-1)]的非周期指数=X指*Y指*m3+2
cZ^(4N+3)项系数a的非周期指数=Y指*Z指*m4
cZ^(4N+3)项系数b的非周期指数=X指*Z指*m5
cZ^(4N+3)项系数c的非周期指数=X指*Y指*m6-1

yangchuanju

重排
aX^(2N+1)项 2 的非周期指数=Y指*Z指*m1+2
bY^(2N+2)项 2 的非周期指数=Y指*Z指*m1
cZ^(4N+3)项 2 的非周期指数=Y指*Z指*m1
aX^(2n+1)项 uv 的非周期指数=X指

aX^(2N+1)项[u^(2n-1)-v^(2n-1)]的非周期指数=X指*Z指*m2
bY^(2N+2)项[u^(2n-1)-v^(2n-1)]的非周期指数=X指*Z指*m2+2
cZ^(4N+3)项[u^(2n-1)-v^(2n-1)]的非周期指数=X指*Z指*m2

aX^(2N+1)项[u^(2n-1)+v^(2n-1)]的非周期指数=X指*Y指*m3
bY^(2N+2)项[u^(2n-1)+v^(2n-1)]的非周期指数=Y指*Z指*m3
cZ^(4N+3)项[u^(2n-1)+v^(2n-1)]的非周期指数=X指*Y指*m3+2

aX^(2N+1)项系数a的非周期指数=Y指*Z指*m4-1
bY^(2N+2)项系数a的非周期指数=Y指*Z指*m4
cZ^(4N+3)项系数a的非周期指数=Y指*Z指*m4

aX^(2N+1)项系数b的非周期指数=X指*Z指*m5
bY^(2N+2)项系数b的非周期指数=X指*Z指*m5-1
cZ^(4N+3)项系数b的非周期指数=X指*Z指*m5

aX^(2N+1)项系数c的非周期指数=X指*Y指*m6
bY^(2N+2)项系数c的非周期指数=X指*Y指*m6
cZ^(4N+3)项系数c的非周期指数=X指*Y指*m6-1


aX项中2的指数高2次，多出一项(uv)^(2n+1);
合到一起等于4u^(2n+1)*v^(2n+1)。

bY项中u^(2n+1)-v^(2n+1)高2次；
bZ项中u^(2n+1)+v^(2n+1)高2次。

[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^2=u^(2n+1)^2-2*(u^(2n+1)*(v^(2n+1)+v^(2n+1)^2
[u^(2n+1)+v^(2n+1)]^2=u^(2n+1)^2+2*(u^(2n+1)*(v^(2n+1)+v^(2n+1)^2

4u^(2n+1)*v^(2n+1)+[[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^2=u^(2n+1)^2-2*(u^(2n+1)*(v^(2n+1)+v^(2n+1)^2]
=[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^2+u^(2n+1)^2-2*(u^(2n+1)*(v^(2n+1)+v^(2n+1)^2

三项都乘上相同的各个幂数，由此可得
aX^(2n+1)+bY^(2n+2)=cZ^(4n+3)

yangchuanju

（接上楼）
如果将三项中的底数2都改为2uv，
则最终X项中底数2uv高2次，为4u^(2n+1)*v^(2n+1)，原方程仍成立。
（三项中所含有的相同的各个幂数不再相同，多出(uv)^(Y指*Z指*m1)一项。）

令u=2，v=1，n=0，则
4u^(2n+1)*v^(2n+1)=4*2^3*1^3=32
[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^2=[2^3-1^3]=7^2=49
[u^(2n+1)+v^(2n+1)]^2=[2^3-1^3]=9^2=81
32^0.5=5.65854
5.65854^2+7^2=32+49=81=9^2
符合勾股数关系，但5.65854、7和9不是一组勾股数。

反之直接将三个底数直接换成4,3,5，且不再计uv，则有
aX^(2N+1)项 4 的非周期指数=Y指*Z指*m1+2
bY^(2N+2)项 4 的非周期指数=Y指*Z指*m1
cZ^(4N+3)项 4 的非周期指数=Y指*Z指*m1

aX^(2N+1)项 3 的非周期指数=X指*Z指*m2
bY^(2N+2)项 3 的非周期指数=X指*Z指*m2+2
cZ^(4N+3)项 3 的非周期指数=X指*Z指*m2

aX^(2N+1)项 5 的非周期指数=X指*Y指*m3
bY^(2N+2)项 5 的非周期指数=Y指*Z指*m3
cZ^(4N+3)项 5 的非周期指数=X指*Y指*m3+2
三项中底数4,3,5的次数分别高2次，4^2+3^2=5^2；
4,3,5是一组勾股数，这就是我所说的：
前三个底数并非一定要局限于2uv，u^α-v^α，u^α+v^α；实际上任意给定一组勾股数，如3,4,5；5,12,13都行。
的道理。式中α=2n+1。

yangchuanju

解四元函数型丢番图不定方程aX^(2n+1)+bY^(2n+2)+cZ^(2n+3)=dU^(2n+5)

当n≠3t+2时，方程四个指数两两互素，式中t等于0,1,2，……。
方程通解由8个幂数连乘积构成，其中4个为一组四元毕达哥拉斯数，例3,4,12,13；另4个是4个系数a，b，c，d。
8个不同底数的指数都可分成周期部分和非周期部分；
X项指数的周期部分是Y指*Z指*U指*k；
Y项指数的周期部分是X指*Z指*U指*k；
Z项指数的周期部分是X指*Y指*U指*k；
U项指数的周期部分是X指*Y指*Z指*k，k——0或正整数。

X项底数3的指数的非周期部分是Y指*Z指*U指*m1+2；
Y项底数3的指数的非周期部分是Z指*U指*m1；
Z项底数3的指数的非周期部分是Y指*U指*m1；
U项底数3的指数的非周期部分是Y指*Z指*m1；

X项底数4的指数的非周期部分是Z指*U指*m2；
Y项底数4的指数的非周期部分是X指*Z指*U指*m2+2；
Z项底数4的指数的非周期部分是X指*U指*m2；
U项底数4的指数的非周期部分是X指*Z指*m2；

X项底数12的指数的非周期部分是Y指*U指*m3；
Y项底数12的指数的非周期部分是X指*U指*m3；
Z项底数12的指数的非周期部分是X指*Y指*U指*m3+2；
U项底数12的指数的非周期部分是X指*Y指*m3；

X项底数13的指数的非周期部分是Y指*Z指*m4；
Y项底数13的指数的非周期部分是X指*Z指*m4；
Z项底数13的指数的非周期部分是X指*Y指*m4；
U项底数13的指数的非周期部分是X指*Y指*Z指*m4+2；

X项底数a的指数的非周期部分是Y指*Z指*U指*m5-1；
Y项底数a的指数的非周期部分是Z指*U指*m5；
Z项底数a的指数的非周期部分是Y指*U指*m5；
U项底数a的指数的非周期部分是Y指*Z指*m5；

X项底数b的指数的非周期部分是Z指*U指*m6；
Y项底数b的指数的非周期部分是X指*Z指*U指*m6-1；
Z项底数b的指数的非周期部分是X指*U指*m6；
U项底数b的指数的非周期部分是X指*Z指*m6；

X项底数c的指数的非周期部分是Y指*U指*m7；
Y项底数c的指数的非周期部分是X指*U指*m7；
Z项底数c的指数的非周期部分是Y指*Z指*U指*m7-1；
U项底数c的指数的非周期部分是X指*Y指*m7；

X项底数d的指数的非周期部分是Y指*Z指*m8；
Y项底数d的指数的非周期部分是Y指*Z指*m8；
Z项底数d的指数的非周期部分是Y指*Z指*m8；
U项底数d的指数的非周期部分是Y指*Z指*Z指*m8-1。

式中m1--m8都是待求乘数（一次二项式），必须先行求出。
由于4个指数两两互素，2-4个指数的最小公倍数就是2-4个指数的乘积；
2-4个指数的最大公约数都是1；
故而各个底数的非周期表达式不再用最小公倍数LCM(…)和最大公约数GCD(…)表达。

四项中的4底数3,4,12,13的指数各有一项高2次，构成一组四元毕达哥拉斯数组；
4底数a,b,c,d的指数各有一项低1次，四项中加上系数后指数变成相等。

yangchuanju

对于不定方程aX^(2n+1)+bY^(2n+2)+cZ^(2n+3)=dU^(2n+5)
当n=1时，已经解得：
m1=2n，非周期函数式是8n^3+36n^2+44n+6；
m5=2n，非周期函数式是8n^3+36n^2+44n+5；
m2=2n，非周期函数式是8n^3+28n^2+18n-1；
m6=2n-1，非周期函数式是8n^3+24n^2+4n-10；
m3=2n，非周期函数式是8n^3+20n^2+4n+2；
m7=2n+2，非周期函数式是8n^3+28n^2+24n+7；
m4=2n+1，非周期函数式是8n^3+8n^2+14-4；
m5=2n，非周期函数式是8n^3+4n^2+12n-7.
4个周期函数式分别是
X项8个底数的指数的周期部分都是8n^3+40n^2+62n+30；
Y项8个底数的指数的周期部分都是8n^3+36n^2+46n+15；
Z项8个底数的指数的周期部分都是8n^3+32n^2+34n+10；
U项8个底数的指数的周期部分都是8n^3+24n^2+22n+6。

将相关函数式带入4*8=32个指数式中即得到XYZU的表达式；
再乘以各自的指数和系数，即得到方程的四项表达式，
届时你可以看到X项之底数3、Y项之底数4、Z项之底数12、U项之底数13的指数分别高2次，
刚好形成一组四元毕达哥拉斯数组。

对于本方程，当n≠3t+2时，方程四个指数两两互素，方程才有解，式中t等于0,1,2，……。

同样对于不定方程aX^(2n+1)+bY^(2n+2)+cZ^(2n+3)=dU^(4n+3)，
当n≠3t时，方程四个指数两两互素，方程才有解，式中t等于1,2,3……。

yangchuanju

费尔马1 发表于 2023-1-31 08:32
老师您好：
25楼，前三个底数并非一定要局限于2uv,  u^α-v^α,  u^α+v^α；实际上任意给定一组勾股数 ...

程中战老师曾在30楼中给出忠告，“这种方法只适用二项和方程”，对此不慎理解，现在才知，这种解法要求方程的各个指数必须两两互素。
可能不存在4个一次二项式an+b（指数）都两两互素的条件，故对于所有的an+b来说，三项和函数型丢番图不定方程无解，但当限定n的取值范围后，方程还是有解的。
再次谢谢老师指教！

费尔马1

yangchuanju 发表于 2023-2-2 07:17
程中战老师曾在30楼中给出忠告，“这种方法只适用二项和方程”，对此不慎理解，现在才知，这种解法要求方 ...

猜想，若四个数都是含字母的代数式，则不存在这四个式子两两互质。
但是，若四个数都是具体的数字，当然可以两两互质。
例，n  n+1  2n+1两两互质，n+2只能与n+1互质，所以
A^n+B^(n+1)+C^(2n+1）=D^(n+2)不可解，但此方程是有解的，只需移项：
D^(n+2)-C^(2n+1)-A^n=B^(n+1）即可解。运用整体换元法解之即可，不能采用取底数法解，因为
左边各个系数的和是1-1-1=-1，负数及1都不能做底数

费尔马1

n(n+2)(2n+1)x+1=(n+1)y
最小解是：
x=n
y=2n^3+3n^2-n+1