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求助:在塞瓦定理中,如果塞瓦点在三角形外,该如何证明呢?

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发表于 2023-2-7 12:34 | 显示全部楼层 |阅读模式
在网上找不到答案。最好是纯几何方法证明。谢谢!

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发表于 2023-2-7 18:58 | 显示全部楼层
用向量方法证明广义塞瓦定理(西瓦定理)

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cz1
赞一个  发表于 2023-2-7 18:59

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发表于 2023-2-7 23:11 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2023-2-8 09:48 编辑

2009 年,为了方便梅涅劳斯定理的记忆,本人发了一个帖子叫【梅涅劳斯定理新解】,其实也可视为梅氏定理的推广。见网址http://www.mathchina.com/bbs/for ... 8%C0%ED%D0%C2%BD%E2

陆教授把这个推广的梅氏定理称为【完全四边形环游定理】,见网址http://www.mathchina.com/bbs/for ... 7%D3%CE%B6%A8%C0%ED

对于楼主的那个图形,是在完全四边形的基础上增加两条线,暂且称之为【广义完全四边形】。

本人发现,对于楼主的那个【广义完全四边形】,【环游定理】仍然成立。



上面右图很像一个风筝,是否也可称之为风筝四边形?

本帖下面证明了下面这些等式全都是成立的,当然还可以写出一些:



下面用复平面解析几何证明【广义完全四边形环游定理】成立。程序如下:



程序运行结果:





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发表于 2023-2-8 00:00 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2023-2-8 10:30 编辑

上面这些等式是如何写出来的? 怎样保证这些等式不会写错呢?
这些等式都符合一个共同的规律,这个规律非常好记。图中有六条线段,有七个交点。把六条线段想象成六条公路,把七个交点想象成公路边的七座小城市。
    假定你在其中的一个城市居住。现在你从居住城市开车出发,按照走过三条公路周游包括自己城市在内的六个城市后(有一个城市没有去),再回到你的居住城市。游历路线可以有许多种,但必须遵守一个规律,就是车子每开上一条公路,必须游历完位于这条公路上的三个城市(可以再次到达某个城市,但开车经过的城市不算游历过)。
    比如你在城市 A 居住,可以选择 A→F→B→D→C→E→A的路线。这样就得到了三个比例式相乘:AFFBBDDCCEEA,相乘结果就是 1。
    在上面的比例式中,如果把代表每段直线的两个字母看成是两个独立的变量,那么分子、分母中相同的字母就可“约去”,“相约”的结果就是 1。如果“约”不干净,那比例式就是写错了。
    再举一例,假如你住在 D 城市,你可以选择 D→B→C→F→P→A→D 路线,这样就有 DBBCCFFPPAAD=1。你也可以选择 D→P→A→E→C→B→D 路线,这样就有 DPPAAEECCBBD=1。你能不能从 D 出发,选择走 D→A→P→ 呢?也是可以的,但是 AP 公路要多走一次才能回到起点 D。具体说就是 D→A→P→B→E→C→A→P→D,这时有四个比例式相乘:DAAPPBBEECCAAPPD=1,可以看出,这时分子中的 AP 与分母中的 AP 能互相抵消,又因 DA=AD,所以结果等同于 PBBEECCAADPD=1,也就是从 P 点出发的一条路线。

   
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 楼主| 发表于 2023-2-8 10:00 | 显示全部楼层
天山草 发表于 2023-2-8 00:00
上面这些等式是如何写出来的? 怎样保证这些等式不会写错呢?
这些等式都符合一个共同的规律,这个规律非 ...

非常感谢老师解答!
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