如何理解格林公式？

luyuanhong

如何理解格林公式？

以下文章来源于马同学图解数学 ，作者马同学

格林公式阐述了一个简单而又重要的物理事实，守恒。比如，打台球：



它的能量守恒是这样的：



击球的能量产生在桌面上，所以调整一下守恒式，就得到了格林公式：



下面让我们一步步建立物理模型来解读上面的描述，并推导出格林公式。

本人不才，下面的物理都主要重视直观理解，不求严格性，恳请物理大咖指点纠正。

1 关于旋转的物理问题

在剑桥大学的小路上，正在思考的乔治·格林被一个学生拦住了，学生愁眉苦脸的说：“老师，您好，有个问题我一直没有想清楚，您帮我合计合计。”

学生继续说道：“这个问题就是，我应该怎么去分析水流中，螺旋桨的做功情况？”



“这是一道应用题，”格林眉毛一拧：“肯定是先建模啊。”

2 模型的建立

首先，水流作用到螺旋桨上，表现为力，因此先把水流转为力场

：



把这样的螺旋桨：



抽象一下，放入到力场中去，就会旋转起来（手动移动下螺旋桨的位置，还会发现在不同的位置旋转速度不一样）：



进一步简化一下，我们只研究其中某一个点的在旋转中的做功：



等价于研究某一点在圆形路径上的做功：



格林说：“问题就被转化为了沿路径做功了，我们看看物理层面怎么解答。”

3 物理的解答

3.1 旋转方向与有向路径

首先，规定逆时针旋转为正方向：



旋转有了方向之后，此点走过的路径也就有了方向，我们称为“有向路径”。

根据旋转的正方向，就可定义点走过的路径的正方向：



点要是反着转，那么走过的路径自然就是 L^- 。

3.2 做功分析

根据微积分的思想，我们把路径切成无数个微小的曲线段：



根据我们已知的两个知识（已知的意思，其实是我不想解释了）：

根据微积分“以直代曲”的思想，这些微小的曲线段可以用切线来代替

根据物理知识，我们知道，力只在路径方向做功

结合上述两点，我们可以得到，每个微小的曲线段上做的功为：



那么，很明显，整段封闭曲线做功可以表示为如下：



“哇，清晰多了！”同学搓搓手，递上一只大前门香烟：“老师，可是怎么计算呢？”

格林抽出笔来，刷刷地写道：“就这么算！”

4 数学计算

4.1 矢量形式转为标量形式





那么，有

  和   ，

所以，

，

所以：



4.2 非常简单的加减运算

我们给出一个简单的力场，这个力场的特点是：

● 只有水平方向的力

● 在同一个垂直高度上，力的大小一样

● 随着垂直高度的增加，力逐渐减小

画出来就是这样的（矢量的方向表示力的方向，矢量的长度表示力的大小）：



计算在此力场中，某点围绕正方形路径一圈所做的功，已知：

● 正方形边长为 3

● 上边受力大小为 1 ，下边受力大小为 4

● 力与左右两边垂直，所以在这两边不做功

如图：



所以，算出某点围绕正方形路径一圈所做的功为：



把正方形均分为 9 宫格，每块都是边长为 1 的正方形，每条正方形的边所在力场的大小我也标注在图里了：



可见，两种运算方法得到的结果都是一样的。

这是一个简单的演算，可以推广为，任意的路径边界上的功，等于路径围成的区域内的所有微分矩形（矩形也符合“以直代曲”的微积分思想）的边界上的功之和：



这也就是我刚开始说的守恒，虽然功和能量还不是一回事，不过也算紧密相关，允许我这个物理民科这么去直观理解。

4.3 计算微小矩形边界上的功

怎么计算微分矩形上做的功呢？让我取一个微分矩形出来，我把矩形的边和顶点、以及矩形的区域都标注出来了：



下面是代数推断了，我觉得过程还是很清晰明了的。



5 通量



关于通量更详细的可以看我另外一个回答散度和旋度的物理意义是什么，其中回答了为什么是法向量方向。

比如，对于我们头顶上的太阳：



我们要计算穿过（包括射出和进入）太阳表面的能量总量：



这就是通量，记作：



太阳内部时时都在发生核聚变，以及其他的能量活动：



根据能量守恒，内部的能量总量，必然等于穿过太阳表面的能量总量。

也就是说，通量和内部能量总量相等。

定了这个基调之后，然后按照之前分析做功的方式，最终我们可以得到：



格林说完之后，突然发现，自己发现了不得了的东西，对于数学有重要的意义，相当于把封闭曲线的线积分转为了二重积分。所以，赶快去发表论文吧。

6 总结


乔治·格林（1793 — 1841），英国科学家，格林公式的发明者。

根据不同的物理意义，格林得到了两种格林公式的形式：

做功的形式（电磁学、流体力学也可以把  看作流速，下面就称为环流量）：



通量的形式：



旋度和散度也出现在公式中了。

本文轻度调侃了乔治·格林，并非不敬。在我眼中科学家才是真正的英雄，希望我可以写出这些科学大咖风采的一二，借用《红楼梦》中的一句话，但使大家知道“科学界历历有人”。

来源：数学经纬网 2023-02-04 21:30 发表于北京