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在复平面上,三角形 ABC 各顶点的复数坐标为 a、b、c,求该三角形的两个布洛卡点坐标

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发表于 2023-2-9 15:38 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 天山草 于 2023-2-9 15:44 编辑





在复平面上,三角形 ABC 各顶点的复数坐标为 a、b、c,求该三角形的两个布洛卡点坐标。

答:若两个布洛卡点的复坐标为 p1 和 p2,则:



公式中字符上面有一横线的,表示共轭复数。

此公式如何证明? 本人的证明方法以后发布。

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发表于 2023-2-10 09:56 | 显示全部楼层
根据定义PAB=PBC=PCA 即有
argPaba=argPbcb=argPcac
从而
Im(Pa)(cb)(ba)(Pb)=0,Im(Pa)(ac)(ba)(Pc)=0
也即
{(Pa)(cb)(ba)(Pb)(ˉPˉa)(ˉcˉb)(ˉbˉa)(ˉPˉb)=0(Pa)(ac)(ba)(Pc)(ˉPˉa)(ˉaˉc)(ˉbˉa)(ˉPˉc)=0
联立即得.

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 楼主| 发表于 2023-2-10 14:27 | 显示全部楼层
求布洛卡点的 mathematica 程序:



程序运行结果:

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发表于 2023-2-10 16:14 | 显示全部楼层
二楼做得很好!
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发表于 2023-2-10 16:32 | 显示全部楼层
sin(x)sin(x)sin(x)sin(Ax)sin(Bx)sin(A+B+x)=1

sin(Ax)sin(Ax)sin(Ax)sin(x)sin(BA+x)sin(2A+Bx)=1

Table[Table[NSolve[{(Sin[(x) \[Pi]/180] Sin[(x) \[Pi]/180] Sin[(x) \[Pi]/180])/
(Sin[(5 A - x) \[Pi]/180] Sin[(5 B - x) \[Pi]/180] Sin[(5 A + 5 B + x) \[Pi]/180]) == 1,
5 A >= x >= 0}, {x}], {B, A, 18 - A/2}], {A, 1, 12}]

Table[Table[NSolve[{(Sin[(5A-x)\[Pi]/180]Sin[(5A-x)\[Pi]/180]Sin[(5A-x)\[Pi]/180])/
(Sin[(x) \[Pi]/180] Sin[(5 B - 5 A + x) \[Pi]/180] Sin[(10 A + 5 B - x) \[Pi]/180])== 1,
5 A >= x >= 0}, {x}], {B, A, 18 - A/2}], {A, 1, 12}]
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发表于 2023-2-11 06:51 | 显示全部楼层
对5楼补充。

1,两个布洛卡点解是 x, A-x,

2,A,B 是已知条件。A=最小的角,B=次小的角。

3,解题用的是角格点=角分线=梅氏定理。

谢谢天山草!提供宝贵的题目(我缺的就是题目)。

5楼出得比较顺利,是因为我正在做一道类似的题目(《数学研发论坛》),效果还不满意。

P 是三角形 ABC 内的点,过P,A作直线交BC于A',过P,B作直线交AC于B',

过P,C作直线AB交于C',满足: AA'=BB'=CC'。

各位网友!谈谈您的想法。
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发表于 2023-2-12 21:03 | 显示全部楼层
1sin2θ=1sin2A+1sin2B+1sin2C
另外一条参考:布洛卡点的一条性质h ttps://www.zhihu.com/question/465376952/answer/1978722674
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\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
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