a(n)=[3n^2/4]，求证：∑(n=1,∞)1／a(n)=π^2／10+tanh(π／√12)π／√3

王守恩

有这样一串数:  \(a(n)=\lceil\frac{3n^2}{4}\rceil\)     2023 年 1 月 16 日

1, 3, 7, 12, 19, 27, 37, 48, 61, 75, 91, 108, 127, 147, 169, 192, 217, 243, 271, 300, 331, ......

试证:  \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a(n)}=\frac{\pi^2}{18}+\frac{\tanh(\pi/\sqrt{12})\pi}{\sqrt{3}}\)

Treenewbee

似乎是对的

Treenewbee

单数项：\[\frac{1}{3(k(k-1)+1}\]-->\[\frac{\pi\tanh(\pi/\sqrt{12})}{\sqrt{3}}\]
双数项: \[\frac{1}{3k^2}\]--->\[ \frac{\pi^2}{18}\]

王守恩

谢谢 Treenewbee！看不太懂，继续请教。

有这样一串数:  \(a(n)=\lceil\frac{n^2}{3}\rceil\)     2022 年 8 月 13 日

1, 2, 3, 6, 9, 12, 17, 22, 27, 34, 41, 48, 57, 66, 75, 86, 97, 108, 121, 134, 147, 162, 177, ......

试证:  \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a(n)}=\frac{\pi^2}{18}+\frac{\sqrt{2}\sinh(\sqrt{8}\pi/3)\pi}{2\cosh(\sqrt{8}\pi/3)+1}\)