甲乙赛 n 场，每场甲赢概率为 p，赢场数多者获胜，求 p 范围使 n=5 比 n=3 对甲更有利

wufaxian

概率导论P1.4
2.6 凯尔特人队和湖人队在季后赛中相遇, 双方要打 n 场比赛,其中 n 为奇数. 凯尔特人队赢一场球的概率为 p,而各次赢球是相互独立的.
(a) 求 p 的范围, 使得对于凯尔特人队来说, n=5 比 n=3 合算.
(b) 将(a)进行推广, 即对于任何 k 的值,找出 p 的范围使得 n=2k+1 比 n=2k-1 对

疑问：请看下方答案。这个P(A)的定义式应该如何理解？为什么是这三项相加？特别是加法第二项和第三项的含义是什么？
          难道将P(A)定义为=\(\sum_{x=k+1}^{2k+1}C_{2k+1}^xp^x\left( 1-p\right)^{2k+1-x}\) 将P(B)定义为：\(\sum_{x=k}^{2k-1}C_{2k-1}^xp^x\left( 1-p\right)^{2k-1-x}\) 然后建立P(A)>P(B)的不等式来求P的范围不可以么？

答案：
We consider the general case of part (b), and we showthat p > 1/2 is a necessary and sufficient condition for n = 2k + 1 games to be betterthan n = 2k - 1 games. To prove this, let N be the number of Celtics’ wins in the first 2k-1 games. If A denotes the event that the Celtics win with n = 2k + 1, and B denotes the event that the Celtics win with n = 2k-1, then





It follows that P(A) > P(B) if and only if p > 1/2. Thus, a longer series is better for the better team

Nicolas2050

:lol，一直在做题阿。

luyuanhong

wufaxian

luyuanhong 发表于 2023-2-14 01:13

谢谢lu老师的详细解答。我看了答案第一部分。截图如下。有几个疑问想向你进一步请教：

1、截图中所有2k-1 都应该是2k+1吧？
2、截图中第二个红线部分的概率考虑的是赢k+1和k+2 场比赛的全部概率。但是这样是不是与(3)重复了呢？因为（3）考虑了X大于等于k+1的概率，实际上涵盖了（2）
      虽然\(p\left\{ X\ge k+1\right\}\) 在后面与P(B)中对应项抵销掉了。但是（2）（3）这样分类是否是重复计算概率呢？

wufaxian

luyuanhong 发表于 2023-2-14 01:13

关于计算的后半部分，截图中蓝框中的两步有些不太理解。比如前面红框的两步我的理解是：P{X=k-1} 这一项完全是从P(A)中继承而来的，A考虑的是2k+1 的情况。但是后边已经有一个\(p^{2 }\) 了，说明两场比赛已经被锁定赢局了。因此只能在2k+1-2=2k-1中计算组合数。如果我这个理解是正确的。那么后面蓝框的两步就不好理解了。P{X=k}是从P(A)-P(B)的运算中得到的。A B事件都包含P{X=k}这一项。那么是什么理由决定了只在2k-1局中计算组合数呢？