独立重复试验中，每次试验成功的概率为 p，求第 r 次成功发生在 m 次失败之前的概率

wufaxian

《概率论基础教程》中文第九版P128
独立重复试验中，设每次试验成功的概率为p, 求第r 次成功发生在m 次失败之前的概率？

解：注意到当且仅当第r 次成功的时刻不晚于第(r + m - 1) 次试验，才能保证在m 次失败之前出现第r 次成功．这是因为，如果在(r 十m - 1) 次试验之前或此时巳经有r 次成功发生，那么在m 次失败之前必然有r 次成功，反之也成立．因此，利用式(8 . 2), 得所求概率

\(\sum_{n=r}^{r+m-1}C_{n-1}^{r-1}p^r\left( 1-p\right)^{n-r}\)


我的疑问：通过上文题干以及解题思路的讲解，我推测这个题目描述的情景是一共进行了m+r次实验，且最后一次实验是失败的(也就是第m次失败)。在最后一次失败之前，已经成功了r次。------------如果我的这个理解是正确的。那么有两个疑问！

1、为什么累加要从n=r开始。 将n=r带入，会得到\(1\times p^r\times\left( 1-p\right)^{r-r}=p^r\)   这对应着只进行了r次实验，且全部成功后面的m-r次实验，可能成功也可能失败。这与题干中要求的m次失败前r次成功不相符吧？？

2、将n=r+m-1带入。\(C_{r+m-2}^{r-1}\ p^r\left( 1-p\right)^{m-1}\)    这里p的指数和（1-p）的指数相加=m+r-1  并不等于实验总数m+r ，问题出现在失败次数是m-1 。这与题干要求的m次失败也不符吧。

所以，为什么这道题的概率分布函数是
\(\sum_{n=r}^{r+m-1}C_{n-1}^{r-1}p^r\left( 1-p\right)^{n-r}\)

luyuanhong

wufaxian

luyuanhong 发表于 2023-2-14 22:10

谢谢lu老师的详细解答。我知道我思路问题出在哪里了。在我头脑中不太能接受k的取值是从0到m-1。

如果用字母W代表获胜，L代表失败。我们假设r=3，m=8，如果k取0，那么将得到如下实验数据WWW。针对这一轮实验结果，它符合“第r次成功发生在m次失败之前”这个条件么？如果继续做实验，后面还出现W，那么就违反“r次成功”这个条件，因为此轮实验已经得到了r+1次成功，且还没出现失败。但是没人能确保r次成功后不再次出现成功。这就是我不理解k=0作为累加起点。请问以上思路哪里错了？

luyuanhong

注意：本题要求的是“第 r 次成功发生在第 m 次失败之前”的概率。

并不是“第 m 次失败之前有且仅有 r 次成功”的概率。

因为要求的是“第 r 次成功发生在第 m 次失败之前”的概率，所以

我们只要考虑第 r 次成功，是不是发生在第 m 次失败之前，至于

在第 r 次成功的后面，是否还有其他次的成功，那是完全不用考虑的。