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奖品在 1~10 号盒子的某一个中,用枚举法逐个猜测,求猜到奖品所需的次数的平均值

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发表于 2023-2-14 17:26 | 显示全部楼层 |阅读模式
《概率论导论》p142 19题


疑问,按说枚举法,随着排除掉的盒子越来越多,猜中的概率应该越来越大才对!而不应该恒定为1/10。但是答案中计算期望值时却用恒定的概率1/10。是不是错了?

题目:

10个盒子中的某一个放有奖品.为确定起见, 将这10个盒子编上号, 由1号到10 号.用问问题和回答问题的方法可以逐步将奖品所在的位置确定下来.下面是两种问问题的方法: (a) 枚举法. 用这样的问题问:“奖品是不是在盒子 k 中?”


答案:
解(a) 不妨设问题是这样问的:第 i 个问题是“奖品是不是在盒子 i 中?”,而奖品是以1/10的概率在盒子 i 中. 故问 i 个问题才猜中奖品的概率为1/10. 这样平均猜中奖品的次数为


枚举法猜盒子概率是恒定的么?

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发表于 2023-2-15 20:56 | 显示全部楼层
  奖品在 1~10 号盒子的某一个中,用枚举法逐个猜测,求猜到奖品所需猜测次数的平均值。

  本题要求的是“猜到奖品所需猜测次数的平均值”,因为是用枚举法逐个猜测,猜到奖品

所需的猜测次数,可以是 1 次,2 次,… ,10 次。 当奖品在第 i 个盒子里时,就需要猜测 i 次。

由于奖品是随机放置的,所以奖品在每一个盒子的概率都是 1/10 ,也就是说,对 i=1,2,…,10 ,

不管 i 是几,奖品在第 i 个盒子的概率都是 1/10 ,猜到奖品所需的猜测次数恰好等于 i 的概率

也都是 1/10 。


    所以,猜到奖品所需猜测次数的平均值就是

1×1/10+2×1/10+3×1/10+4×1/10+5×1/10+6×1/10+7×1/10+8×1/10+9×1/10+10×1/10

                  = (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)/10 = 55/10 =5.5 。

点评

谢谢lu老师的讲解,我明白了。  发表于 2023-2-15 23:22
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