蔡家雄循环节长猜想……

yangchuanju

蔡家雄 发表于 2023-2-21 19:30
设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 30k+17 和 2^(4t+3)*(30k+17)+1 都是素数，

蔡家雄猜想
设 k 为正整数，t 为非负整数，
若 30k+11 和 2^(4t+5)*(30k+11)+1 都是素数，
则 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+11)+1 的原根。

经验证，当t=0，2^(4t+5)=32时，在循环节长10万以内，素+素都是长循环节（10是第2素数的原根）；
当t=1，2^(4t+5)=512时，亦有素+素=长循环节：
循环节长        素数         模15360余数        (素数-1)/512        分解式        (素数-1)/节长
36352        36353         5633        71        71 is prime         1
51712        51713         5633        101        101 is prime         1
67072        67073         5633        131        131 is prime         1
512        8253953         5633        16121        7*7*7*47        16121
73216        338289183233         5633        660721061        7*11*13*660061        4620427
49664        531595658753         5633        1038272771        97*10703843        10703843
95744        21658150953473         5633        42301076081        11*17*226208963        226208963

当t=-1，2^(4t+5)=2时，只有部分素+素是长循环节，另有部分素+素是半长循环节，见下帖。

yangchuanju

循环节长        素数          (素数-1)/2        分解式        (素数-1)/节长
22        23         11         prime         1
262        263         131         prime         1
382        383         191         prime         1
502        503         251         prime         1
862        863         431         prime         1
982        983         491         prime         1
1822        1823         911         prime         1
2062        2063         1031         prime         1
2902        2903         1451         prime         1
3022        3023         1511         prime         1
3622        3623         1811         prime         1
3862        3863         1931         prime         1
4702        4703         2351         prime         1
6982        6983         3491         prime         1
7702        7703         3851         prime         1
7822        7823         3911         prime         1
8422        8423         4211         prime         1
8542        8543         4271         prime         1
8782        8783         4391         prime         1
9742        9743         4871         prime         1
……
53        107         53         prime         2
113        227         113         prime         2
173        347         173         prime         2
233        467         233         prime         2
293        587         293         prime         2
593        1187         593         prime         2
653        1307         653         prime         2
953        1907         953         prime         2
1013        2027         1013         prime         2
1733        3467         1733         prime         2
1973        3947         1973         prime         2
2273        4547         2273         prime         2
2393        4787         2393         prime         2
2693        5387         2693         prime         2
2753        5507         2753         prime         2
3413        6827         3413         prime         2
3593        7187         3593         prime         2
4073        8147         4073         prime         2
4373        8747         4373         prime         2
4733        9467         4733         prime         2
4793        9587         4793         prime         2
5333        10667         5333         prime         2
6053        12107         6053         prime         2
6113        12227         6113         prime         2
6173        12347         6173         prime         2
7193        14387         7193         prime         2
7433        14867         7433         prime         2
8093        16187         8093         prime         2
8273        16547         8273         prime         2
8513        17027         8513         prime         2
8693        17387         8693         prime         2
9293        18587         9293         prime         2
9473        18947         9473         prime         2
……

yangchuanju

循环节长1-100000的10^15以内的素数共118352个，包括素数2,3和5，
循环节长1-300000的10^15以内的素数共305236个，包括素数2,3和5，
其中10万内素数9592个，具有最大长度循环节的素数有3617个；
30万内素数25997个，具有最大长度循环节的素数有9729个。

蔡家雄

若 (10d+3)^2 -2 是素数，则 10 是素数 (10d+3)^2 -2 的原根。

yangchuanju

A098937
前10的n次方个素数内有原根10的素数个数
1 5
2 38
3 387
4 3755
5 37523
6 374126
7 3740610
8 37393725
9 373953691
10 3739544360

yangchuanju

A086018
10^n以内有原根10的素数个数
0 0
1 1
2 9
3 60
4 467
5 3617
6 29500
7 248881
8 2155288
9 19016617
10 170169241
11 1539964486
12 14063663530
13 129413160100

yangchuanju

蔡家雄 发表于 2023-3-1 07:41
若 (10d+3)^2 -2 是素数，则 10 是素数 (10d+3)^2 -2 的原根。

设p是一个奇素数，10^(p-1)模p余1或10^(p-1)/2模p余-1，且10的其余次幂模p余数都不是1或-1，则10是素数p的原根。

yangchuanju

蔡家雄三猜想：设 d 为非负整数，
若 (10d+3)^2 -2 是素数，则 10 是素数 (10d+3)^2 -2 的原根。
若 (10d+5)^2 -2 是素数，则 10 是素数 (10d+5)^2 -2 的原根。
若 (10d+7)^2 -2 是素数，则 10 是素数 (10d+7)^2 -2 的原根。
都不完全正确——
对三系列中的不大于30万的素数比对，内部均有2-3的不是长循环节的，反例循环节长仅为p-1的三分之一或更短：
(10d+3)^2-2中的
(10*30+3)^2-2=91807——循环节长3分之一
(10*57+3)^2-2=32827——循环节长3分之一
(10d+5)^2-2中的
(10*13+5)^2-2=18223——循环节长3分之一
(10*28+5)^2-2=81223——循环节长3分之一
(10*31+5)^2-2=99223——循环节长3分之一
(10d+7)^2-2中的
(10*11+7)^2-2=13687——循环节长3分之一
(10*23+7)^2-2=56167——循环节长3分之一
(10*24+7)^2-2=61007——循环节长59分之一

另对(10d+1)^2-2和(10d+9)^2-2进行计算，
若 (10d+1)^2 -2 是素数，则素数 (10d+1)^2 -2 的循环节长大部分是p-1的2分之一，少量为6分之一；
若 (10d+9)^2 -2 是素数，则素数 (10d+9)^2 -2 的循环节长大部分也是p-1的2分之一，少量为6分之一。

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-3-1 07:41
若 (10d+3)^2 -2 是素数，则 10 是素数 (10d+3)^2 -2 的原根。

10000内满足 (10d+3)^2 -2 是素数的d 有1836个：

{1,3,4,6,9,10,17,18,22,23,25,27,29,30,31,32,44,......,9960,9965,9969,9970,9992}

其中有271个素数 (10d+3)^2 -2 的原根不是10：

{30,57,107,156,165,192,204,213,216,305,309,324,372,417,426,456,486,507,528,552,557,561,564,675,678,702,717,745,765,781,825,828,897,921,960,1021,1035,1038,1040,1068,1074,1077,1191,1254,1299,1343,1353,1425,1437,1443,1488,1494,1557,1569,1599,1637,1662,1686,1698,1746,1758,1857,1887,1935,1977,1998,2082,2097,2104,2145,2157,2166,2190,2227,2256,2295,2319,2384,2460,2466,2472,2487,2505,2549,2565,2617,2652,2676,2696,2703,2757,2802,2871,2886,2925,2997,3006,3044,3063,3144,3216,3285,3405,3452,3551,3576,3636,3651,3747,3789,3837,3873,3942,3954,3999,4021,4029,4050,4089,4145,4243,4248,4251,4377,4398,4419,4461,4463,4491,4509,4581,4617,4629,4638,4692,4783,4794,4845,4857,4902,4903,4929,4957,4974,5013,5046,5065,5134,5160,5223,5245,5316,5331,5385,5394,5398,5469,5525,5541,5571,5589,5594,5618,5667,5730,5818,5826,5886,5982,5991,6005,6021,6045,6075,6126,6141,6198,6213,6225,6255,6324,6345,6390,6399,6443,6465,6542,6570,6609,6621,6630,6633,6714,6719,6756,6771,6780,6786,6807,6885,6894,6918,6933,7020,7092,7122,7170,7200,7269,7272,7335,7356,7416,7449,7452,7503,7515,7524,7608,7641,7692,7713,7785,7794,7815,7863,7884,7968,7974,7977,8012,8019,8147,8187,8194,8277,8331,8346,8352,8397,8430,8529,8691,8747,8847,8898,8917,8922,8955,8973,9036,9073,9078,9129,9201,9207,9312,9339,9402,9423,9594,9613,9642,9711,9747,9787,9799,9846,9855,9864,9951}