蔡家雄循环节长猜想……

蔡家雄 · 发表于 2023-2-25 19:32

设 k 为正整数，

若 30k+17 和 128*(30k+17)+1 都是素数，

则 10 是素数 128*(30k+17)+1 的原根。

设 k 为正整数，

若 30k+29 和 128*(30k+29)+1 都是素数，

则 10 是素数 128*(30k+29)+1 的原根。

断言：无一反例，，，，，，，，，，

yangchuanju · 发表于 2023-2-25 20:24

蔡家雄发表于 2023-2-25 19:32
设 k 为正整数，

若 30k+17 和 128*(30k+17)+1 都是素数，

请问：
设 k 为非负整数，
若 30k+7 和 4*(30k+7)+1 都是素数，4*(30k+7)+1是不是都有原根10？

已查知，与7 37 67 97 127 277 307对应的素数
29 149 269 389 509 1109 1229都有原根10。

yangchuanju · 发表于 2023-2-27 07:35

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-2-27 12:26 编辑

蔡家雄发表于 2023-2-25 19:27
设 k 为正整数，

若 30k+11 和 32*(30k+11)+1 都是素数，

蔡家雄猜想：设 k 为正整数，
若 30k+11 和 32*(30k+11)+1 都是素数，
则 10 是素数 32*(30k+11)+1 的原根。

71=2*30+11是素数，32*71+1=2273也是素数，10是2273的原根
同类型的双素数，10是原根的还有191,461,521，……

161=5*30+11=7*23不是素数，32*161+1=5153是素数，10是5153的原根
同类型的非素数+素数，10是原根的还有581,611,1781，……

2561=80*30+11=13*197不是素数，32*2561+1=81953是素数，10不是81953的原根
同类型的非素数+素数，10不是原根的还有132833,137633,203873，……

当 k 为正整数，
若 30k+11 和 32*(30k+11)+1 都是素数，
则 10 是素数 32*(30k+11)+1 的原根。

但10是素数 32*(30k+11)+1 的原根，不一定非要求30k+1是素数；
而10不是素数 32*(30k+11)+1 的原根时，30k+1一定不是素数。

素+素=长循环节
合+素=长循环节
合+素=短循环节

可以肯定地说
素+合=短循环节
合+合=短循环节

yangchuanju · 发表于 2023-2-27 07:37

循环节长素数 (素数-1)/32 分解式 (素数-1)/节长
32 353 11 11 is prime 11
2272 2273 71 71 is prime 1
6112 6113 191 191 is prime 1
14752 14753 461 461 is prime 1
16672 16673 521 521 is prime 1
22432 22433 701 701 is prime 1
29152 29153 911 911 is prime 1
30112 30113 941 941 is prime 1
32992 32993 1031 1031 is prime 1
34912 34913 1091 1091 is prime 1
36832 36833 1151 1151 is prime 1
48352 48353 1511 1511 is prime 1
50272 50273 1571 1571 is prime 1
55072 55073 1721 1721 is prime 1
66592 66593 2081 2081 is prime 1
77152 77153 2411 2411 is prime 1
82912 82913 2591 2591 is prime 1
83872 83873 2621 2621 is prime 1
86752 86753 2711 2711 is prime 1
89632 89633 2801 2801 is prime 1
96352 96353 3011 3011 is prime 1
5152 5153 161 7*23 1
18592 18593 581 7*83 1
19552 19553 611 13*47 1
56992 56993 1781 13*137 1
58912 58913 1841 7*263 1
62752 62753 1961 37*53 1
65632 65633 2051 7*293 1
69472 69473 2171 13*167 1
72352 72353 2261 7*17*19 1
85792 85793 2681 7*383 1
94432 94433 2951 13*227 1
95392 95393 2981 11*271 1
99232 99233 3101 7*443 1
18976 132833 4151 7*593 7
32416 226913 7091 7*1013 7
51616 361313 11291 7*1613 7
84256 589793 18431 7*2633 7
12512 137633 4301 11*17*23 11
40352 443873 13871 11*13*97 11
64352 707873 22121 11*2011 11
87392 961313 30041 11*2731 11
92192 1014113 31691 11*43*67 11
6304 81953 2561 13*197 13
41824 543713 16991 13*1307 13
60064 780833 24401 13*1877 13
78304 1017953 31811 13*2447 13
35936 610913 19091 17*1123 17
43616 741473 23171 17*29*47 17
50336 855713 26741 11*11*13*17 17
31648 601313 18791 19*23*43 19
8864 203873 6371 23*277 23
57824 1329953 41561 13*23*139 23
77984 1793633 56051 23*2437 23
25504 1096673 34271 43*797 43
30304 1303073 40721 43*947 43
58528 2867873 89621 7*7*31*59 49
16544 876833 27401 11*47*53 53
30944 1640033 51251 53*967 53
46304 2454113 76691 53*1447 53
36064 2632673 82271 7*7*23*73 73
33952 3089633 96551 7*13*1061 91
55456 5379233 168101 97*1733 97
54112 17911073 559721 19*89*331 331
20768 11193953 349811 7*7*11*11*59 539
43552 27481313 858791 631*1361 631
51104 36437153 1138661 23*31*1597 713
96352 75250913 2351591 11*71*3011 781
37856 44935073 1404221 7*13*13*1187 1187
65632 106389473 3324671 7*293*1621 1621
99232 160855073 5026721 7*443*1621 1621
49952 91961633 2873801 7*7*223*263 1841
22624 43053473 1345421 7*11*101*173 1903
39328 97494113 3046691 37*67*1229 2479
16864 48787553 1524611 11*17*31*263 2893
23648 71629793 2238431 13*233*739 3029
43424 132573473 4142921 23*43*59*71 3053
39968 127058273 3970571 11*17*17*1249 3179
25312 82795553 2587361 7*113*3271 3271
4256 14117153 441161 7*19*31*107 3317
80672 296146913 9254591 2521*3671 3671
92896 407534753 12735461 41*107*2903 4387
24928 114145313 3567041 19*19*41*241 4579
40736 274438433 8576201 19*67*6737 6737
72416 600835553 18776111 31*73*8297 8297
31712 308589473 9643421 37*263*991 9731
32032 410361953 12823811 7*11*13*23*557 12811
52064 697813793 21806681 13*1031*1627 13403
3296 48507233 1515851 103*14717 14717
68704 1276726433 39897701 19*113*18583 18583
9568 200248673 6257771 13*23*20929 20929
62816 1342817633 41963051 13*151*21377 21377
80096 1839564833 57486401 7*17*193*2503 22967
95456 2604707873 81397121 13*19*157*2099 27287
79456 2655975713 82999241 13*191*33427 33427
20384 690874913 21589841 7*7*13*33893 33893
416 19725473 616421 13*47417 47417
74272 4398462113 137451941 11*211*59221 59221
90592 9319289633 291227801 19*149*102871 102871
72736 9317990753 291187211 7*2273*18301 128107
86944 11180389793 349387181 11*13*19*23*5591 128593
5216 688131233 21504101 163*131927 131927
83488 11668199393 364631231 2609*139759 139759
1376 248776673 7774271 43*180797 180797
99424 19466523233 608328851 13*13*239*15061 195793
49312 30118339553 941198111 7*23*67*87253 610771
33248 23202416033 725075501 71*1039*9829 697859
78176 57805445153 1806420161 7*13*23*349*2473 739427
63008 53342509793 1666953431 11*13*179*65123 846599
90208 83713835873 2616057371 383*2423*2819 928009
86176 98551476833 3079733651 17*2693*67271 1143607
47584 241484184353 7546380761 43*107*1103*1487 5074903
28768 149759562593 4679986331 29*31*5205769 5205769
79072 510593286113 15956040191 7*13*13*19*353*2011 6457321
83168 554442715553 17326334861 11*23*113*606049 6666539
33056 304282694753 9508834211 157*1033*58631 9205067
90848 875130516833 27347828651 11*13*17*31*41*53*167 9632909
49952 688837630433 21526175951 7*19*223*725789 13789991
33184 492197465633 15381170801 17*61*1693*8761 14832373
33248 576855426593 18026732081 1039*1663*10433 17350079
61408 1102854458273 34464201821 7*19*101*653*3929 17959459
85216 2251559000993 70361218781 7*79*2663*47779 26421787
39712 1330832554913 41588517341 7*17*73*1753*2731 33512101
63584 2530319112353 79072472261 461*1987*86323 39794903
2272 95132959073 2972904971 17*37*71*66569 41871901
45152 2068840303073 64651259471 17*83*45819461 45819461
45152 2498922584993 78091330781 17*83*151*366521 55344671
416 40336502753 1260515711 7*13*17*29*28097 96962747
71584 15154667312033 473583353501 23*31*2237*296921 211704673
84704 32040394488353 1001262327761 139*2647*2721317 378263063
23648 20869912157153 652184754911 739*882523349 882523349
4576 4534037883233 141688683851 11*13*13*76217689 990829957
85664 85679466892193 2677483340381 23*1319*2677*32969 1000180553
65056 152603690331233 4768865322851 7*7*19*107*281*170363 2345728147
27104 63729682442273 1991552576321 7*7*11*11*41*2143*3823 2351301743
95072 347850994777313 10870343586791 13*1097*2971*256561 3658816421
34144 864401589712673 27012549678521 11*47*97*263*887*2309 25316353963

yangchuanju · 发表于 2023-2-27 12:51

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-2-27 12:55 编辑

蔡家雄发表于 2023-2-21 19:30
设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 30k+17 和 2^(4t+3)*(30k+17)+1 都是素数，

蔡家雄猜想
设 k 为正整数，t 为非负整数，
若 30k+11 和 2^(4t+5)*(30k+11)+1 都是素数，
则 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+11)+1 的原根。

经验证，当t=0，2^(4t+5)=32时，在循环节长10万以内，素+素都是长循环节（10是第2素数的原根）；
当t=1，2^(4t+5)=512时，亦有素+素=长循环节：
循环节长素数模15360余数 (素数-1)/512 分解式 (素数-1)/节长
36352 36353 5633 71 71 is prime 1
51712 51713 5633 101 101 is prime 1
67072 67073 5633 131 131 is prime 1
512 8253953 5633 16121 7*7*7*47 16121
73216 338289183233 5633 660721061 7*11*13*660061 4620427
49664 531595658753 5633 1038272771 97*10703843 10703843
95744 21658150953473 5633 42301076081 11*17*226208963 226208963

当t=-1，2^(4t+5)=2时，只有部分素+素是长循环节，另有部分素+素是半长循环节，见下帖。

yangchuanju · 发表于 2023-2-27 13:06

循环节长素数 (素数-1)/2 分解式 (素数-1)/节长
22 23 11 prime 1
262 263 131 prime 1
382 383 191 prime 1
502 503 251 prime 1
862 863 431 prime 1
982 983 491 prime 1
1822 1823 911 prime 1
2062 2063 1031 prime 1
2902 2903 1451 prime 1
3022 3023 1511 prime 1
3622 3623 1811 prime 1
3862 3863 1931 prime 1
4702 4703 2351 prime 1
6982 6983 3491 prime 1
7702 7703 3851 prime 1
7822 7823 3911 prime 1
8422 8423 4211 prime 1
8542 8543 4271 prime 1
8782 8783 4391 prime 1
9742 9743 4871 prime 1
……
53 107 53 prime 2
113 227 113 prime 2
173 347 173 prime 2
233 467 233 prime 2
293 587 293 prime 2
593 1187 593 prime 2
653 1307 653 prime 2
953 1907 953 prime 2
1013 2027 1013 prime 2
1733 3467 1733 prime 2
1973 3947 1973 prime 2
2273 4547 2273 prime 2
2393 4787 2393 prime 2
2693 5387 2693 prime 2
2753 5507 2753 prime 2
3413 6827 3413 prime 2
3593 7187 3593 prime 2
4073 8147 4073 prime 2
4373 8747 4373 prime 2
4733 9467 4733 prime 2
4793 9587 4793 prime 2
5333 10667 5333 prime 2
6053 12107 6053 prime 2
6113 12227 6113 prime 2
6173 12347 6173 prime 2
7193 14387 7193 prime 2
7433 14867 7433 prime 2
8093 16187 8093 prime 2
8273 16547 8273 prime 2
8513 17027 8513 prime 2
8693 17387 8693 prime 2
9293 18587 9293 prime 2
9473 18947 9473 prime 2
……

yangchuanju · 发表于 2023-3-1 07:31

循环节长1-100000的10^15以内的素数共118352个，包括素数2,3和5，
循环节长1-300000的10^15以内的素数共305236个，包括素数2,3和5，
其中10万内素数9592个，具有最大长度循环节的素数有3617个；
30万内素数25997个，具有最大长度循环节的素数有9729个。

蔡家雄 · 发表于 2023-3-1 07:41

若 (10d+3)^2 -2 是素数，则 10 是素数 (10d+3)^2 -2 的原根。

yangchuanju · 发表于 2023-3-1 07:45

A098937
前10的n次方个素数内有原根10的素数个数
1 5
2 38
3 387
4 3755
5 37523
6 374126
7 3740610
8 37393725
9 373953691
10 3739544360

yangchuanju · 发表于 2023-3-1 07:55

A086018
10^n以内有原根10的素数个数
0 0
1 1
2 9
3 60
4 467
5 3617
6 29500
7 248881
8 2155288
9 19016617
10 170169241
11 1539964486
12 14063663530
13 129413160100

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蔡家雄循环节长猜想……

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