原根及原根猜想

yangchuanju · 发表于 2026-1-21 06:26

本帖最后由 yangchuanju 于 2026-1-21 06:40 编辑

再次谢谢wlc1和cz1两位老师的点赞和加分！

yangchuanju · 发表于 2026-1-21 06:27

求奇素数p及平方、立方、四次方的原根个数
AI回答
对于奇素数 p 及其平方、立方、四次方的原根个数，以下是相关信息：
奇素数p的原根个数：根据搜索结果，如果p为素数，那么素数 p一定存在原根，
并且p 的原根的个数为 φ(p-1)，其中φ是欧拉函数。

奇素数p 的幂次（如平方、立方、四次方）的原根个数：搜索结果中未直接提及奇素数
p 的幂次的原根个数。不过，根据数论中的相关知识，对于奇素数 p和k≥1，
模p^k的原根个数为φ(φ(p^k))=φ(p^(k-1)*(p-1))。具体来说
对于p^2，原根个数为φ(p*(p-1))；
对于p^3，原根个数为φ(p^2*(p-1))；
对于p^4，原根个数为φ(p^3*(p-1))；

综上所述，奇素数p的原根个数为 φ(p-1)，而其幂次的原根个数可以通过欧拉函数进一步计算得出。
如果需要更详细的计算方法或具体例子，建议参考数论相关教材或进一步的数学资料。
笔者另行计算——
对于p^2，原根个数为φ(p*(p-1))=φ(p)*φ(p-1)=(p-1)*φ(p-1)；
对于p^3，原根个数为φ(p^2*(p-1))=φ(p^2)*φ(p-1)=p*(p-1)*φ(p-1)；
对于p^4，原根个数为φ(p^3*(p-1))=φ(p^3)*φ(p-1)=p^2*(p-1)*φ(p-1)；
例素数3有φ(3-1)=φ(2)=1个原根；9有(3-1)*1=2个原根，27有6个原根，81有18个原根；
素数5有φ(5-1)=φ(4)=2个原根；25有(5-1)*2=8个原根，125有40个原根，625有200个原根；

yangchuanju · 发表于 2026-1-21 06:30

5,25,125,625的原根（分别是2,8,40,200个，在25的原根中没有7和18）
序号 5 25 125 625.1 625.2 625.3 625.4 625.5
1 2 2 2 2 127 252 377 502
2 3 3 3 3 128 253 378 503
3 —— 8 8 8 133 258 383 508
4 —— 12 12 12 137 262 387 512
5 —— 13 13 13 138 263 388 513
6 —— 17 17 17 142 267 392 517
7 —— 22 22 22 147 272 397 522
8 —— 23 23 23 148 273 398 523
9 —— 缺7,18 27 27 152 277 402 527
10 —— —— 28 28 153 278 403 528
11 —— —— 33 33 158 283 408 533
12 —— —— 37 37 162 287 412 537
13 —— —— 38 38 163 288 413 538
14 —— —— 42 42 167 292 417 542
15 —— —— 47 47 172 297 422 547
16 —— —— 48 48 173 298 423 548
17 —— —— 52 52 177 302 427 552
18 —— —— 53 53 178 303 428 553
19 —— —— 58 58 183 308 433 558
20 —— —— 62 62 187 312 437 562
21 —— —— 63 63 188 313 438 563
22 —— —— 67 67 192 317 442 567
23 —— —— 72 72 197 322 447 572
24 —— —— 73 73 198 323 448 573
25 —— —— 77 77 202 327 452 577
26 —— —— 78 78 203 328 453 578
27 —— —— 83 83 208 333 458 583
28 —— —— 87 87 212 337 462 587
29 —— —— 88 88 213 338 463 588
30 —— —— 92 92 217 342 467 592
31 —— —— 97 97 222 347 472 597
32 —— —— 98 98 223 348 473 598
33 —— —— 102 102 227 352 477 602
34 —— —— 103 103 228 353 478 603
35 —— —— 108 108 233 358 483 608
36 —— —— 112 112 237 362 487 612
37 —— —— 113 113 238 363 488 613
38 —— —— 117 117 242 367 492 617
39 —— —— 122 122 247 372 497 622
40 —— —— 123 123 248 373 498 623

yangchuanju · 发表于 2026-1-21 06:33

本帖最后由 yangchuanju 于 2026-1-21 06:38 编辑

3及3的幂及各次幂乘以2的原根
3,9,27,81,243分别用1,2,6,18,54个原根；
6,18,54,162,486也分别用1,2,6,18,54个原根。

序号数字原根数字原根
1-1 3 2 6 5
2-1 9 2 18 5
2-2 9 5 18 11
3-1 27 2 54 5
3-2 27 5 54 11
3-3 27 11 54 23
3-4 27 14 54 29
3-5 27 20 54 41
3-6 27 23 54 47
4-1 81 2 162 5
4-2 81 5 162 11
4-3 81 11 162 23
4-4 81 14 162 29
4-5 81 20 162 41
4-6 81 23 162 47
4-7 81 29 162 59
4-8 81 32 162 65
4-9 81 38 162 77
4-10 81 41 162 83
4-11 81 47 162 95
4-12 81 50 162 101
4-13 81 56 162 113
4-14 81 59 162 119
4-15 81 65 162 131
4-16 81 68 162 137
4-17 81 74 162 149
4-18 81 77 162 155
5-1 243 2 486 5
5-2 243 5 486 11
5-3 243 11 486 23
5-4 243 14 486 29
5-5 243 20 486 41
5-6 243 23 486 47
5-7 243 29 486 59
5-8 243 32 486 65
5-9 243 38 486 77
5-10 243 41 486 83
5-11 243 47 486 95
5-12 243 50 486 101
5-13 243 56 486 113
5-14 243 59 486 119
5-15 243 65 486 131
5-16 243 68 486 137
5-17 243 74 486 149
5-18 243 77 486 155
5-19 243 83 486 167
5-20 243 86 486 173
5-21 243 92 486 185
5-22 243 95 486 191
5-23 243 101 486 203
5-24 243 104 486 209
5-25 243 110 486 221
5-26 243 113 486 227
5-27 243 119 486 239
5-28 243 122 486 245
5-29 243 128 486 257
5-30 243 131 486 263
5-31 243 137 486 275
5-32 243 140 486 281
5-33 243 146 486 293
5-34 243 149 486 299
5-35 243 155 486 311
5-36 243 158 486 317
5-37 243 164 486 329
5-38 243 167 486 335
5-39 243 173 486 347
5-40 243 176 486 353
5-41 243 182 486 365
5-42 243 185 486 371
5-43 243 191 486 383
5-44 243 194 486 389
5-45 243 200 486 401
5-46 243 203 486 407
5-47 243 209 486 419
5-48 243 212 486 425
5-49 243 218 486 437
5-50 243 221 486 443
5-51 243 227 486 455
5-52 243 230 486 461
5-53 243 236 486 473
5-54 243 239 486 479

yangchuanju · 发表于 2026-1-21 06:39

487及974的原根（各有162个原根）
序号 487原根 974原根
1 3 3
2 6 11
3 10 13
4 11 17
5 13 23
6 14 45
7 17 47
8 20 57
9 22 59
10 23 63
11 24 75
12 28 87
13 45 93
14 46 105
15 47 109
16 48 113
17 52 117
18 54 123
19 57 131
20 59 147
21 63 149
22 68 151
23 74 153
24 75 155
25 80 165
26 86 173
27 87 183
28 88 199
29 93 201
30 94 209
31 104 211
32 105 213
33 108 217
34 109 219
35 112 223
36 113 227
37 114 229
38 117 231
39 118 239
40 123 243
41 131 247
42 136 257
43 147 265
44 148 275
45 149 283
46 150 291
47 151 293
48 153 319
49 155 323
50 158 325
51 160 331
52 165 333
53 172 341
54 173 345
55 174 347
56 176 353
57 180 355
58 183 359
59 184 365
60 190 367
61 192 371
62 198 377
63 199 385
64 201 387
65 202 389
66 209 405
67 210 409
68 211 411
69 213 415
70 217 417
71 218 425
72 219 429
73 223 437
74 224 445
75 226 449
76 227 451
77 229 455
78 231 457
79 234 471
80 239 483
81 243 485
82 246 493
83 247 497
84 250 501
85 252 507
86 257 509
87 262 511
88 265 515
89 266 533
90 275 535
91 283 539
92 290 541
93 291 555
94 293 561
95 294 567
96 306 573
97 310 575
98 316 581
99 318 591
100 319 595
101 323 599
102 325 601
103 326 605
104 331 623
105 333 635
106 341 637
107 345 645
108 346 647
109 347 659
110 350 661
111 353 663
112 355 667
113 358 671
114 359 677
115 360 679
116 365 685
117 366 689
118 367 697
119 368 705
120 371 711
121 372 713
122 376 721
123 377 733
124 380 737
125 384 739
126 385 749
127 387 753
128 389 777
129 390 781
130 396 793
131 398 797
132 402 803
133 404 805
134 405 813
135 406 833
136 409 837
137 410 845
138 411 847
139 414 853
140 415 855
141 416 859
142 417 863
143 418 867
144 422 871
145 425 877
146 429 883
147 432 885
148 434 889
149 437 891
150 445 893
151 449 897
152 451 901
153 454 903
154 455 905
155 456 909
156 457 919
157 466 921
158 471 941
159 472 943
160 478 953
161 483 959
162 485 965

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