在锐角 ΔABC 中，求证：cosA／(cosA+2cosBcosC)+…+cosC／(cosC+2cosBcosA) ≥ 3／2

youthdoo

改编来源: 加拿大数学奥林匹克2023年问题三.

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在锐角三角形\(ABC\)中, 求证:\[\frac{\cos A}{\cos A+2\cos B\cos C}+\frac{\cos B}{\cos B+2\cos A\cos C}+\frac{\cos C}{\cos C+2\cos B\cos A}\ge\frac32.\]

shuxuestar

cos(A)/(cos(A) + 2*cos(B)*cos(C)) + cos(B)/(cos(B) + 2*cos(A)*cos(C)) + cos(C)/(cos(C) + 2*cos(B)*cos(A));
(三角形中C=180-A-B);
积化和差化为：
cosA/cos(B - C) + cosB/cos(A - C) + cosC/cos(A-B ).
锐角三角形中ABC余弦均为正数,(B - C),(A - C),(A-B) 余弦均为正数,可知上式为正数相加.
故可应用几何平均值不等式 :
cosA/cos(B - C) + cosB/cos(A - C) + cosC/cos(A-B ) 》
3*（cos(A)*cos(B)*cos(C)/(cos(B - C)*cos(A - C)*cos(-B + A))）^1/3;
当3个相等时等式成立:
cosA/cos(B - C)=cosB/cos(A - C)=cosC/cos(A-B);(C=180-A-B).
不需详细解算(因解唯一)，三式相等如正三角形 :
cos60/1=cos60/1=cos60/1=1/2.
算得：
cosA/cos(B - C) + cosB/cos(A - C) + cosC/cos(A-B ) 》3/2.
证题目成立

shuxuestar

要详细解算也可：
1.cosA/cos(B - C)=cosB/cos(A - C)；
2.cosB/cos(A - C)=cosC/cos(A-B)；
3.cosA/cos(B - C)=cosC/cos(A-B)；(C=180-A-B)

1式得：
cosA/cos(2*B + A) = cosB/cos(2*A + B)
展开：
cosA/(2*cos(A)*cos(B)^2 - cos(A) - 2*sin(A)*sin(B)*cos(B)) = cosB/(2*cos(B)*cos(A)^2 - cos(B) - 2*sin(B)*sin(A)*cos(A))
叉乘：
cosA*(2*cos(B)*cos(A)^2 - cos(B) - 2*sin(B)*sin(A)*cos(A)) = cosB*(2*cos(A)*cos(B)^2 - cos(A) - 2*sin(A)*sin(B)*cos(B))
化简得：
cos(A)^2*cos(A + B) = cos(B)^2*cos(A + B)；

得：cosA=+-cosB；锐角三角形余弦为正数算得角：A=B；

同样的方法2式算得：B=C；

得到锐角三角形三个角相等...........

这种方法稍微费些功夫,  没半个小时计算估计难以过关.......

波斯猫猫

题：在锐角 ΔABC 中，

求证：cosA／(cosA+2cosBcosC)+cosB／(cosB+2cosAcosC)+cosC／(cosC+2cosBcosA) ≥ 3／2。

思路：在△ABC中，显然，tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC≥3(tanAtanBtanC)^(1/3)(锐角 ΔABC)，

即tanAtanBtanC≥3√3。记tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC为abc=a+b+c，有abc≥3√3，当且仅当

ΔABC为正三角形时等号成立。

cosA／(cosA+2cosBcosC)+cosB／(cosB+2cosAcosC)+cosC／(cosC+2cosBcosA)

=-cos(B+C)／cos(B-C)-cos(A+C)／cos(C-A)-cos(B+A)／cos(A-B)

=3-2[1/(tanBtanC+1)+1/(tanAtanC+1)+1/(tanBtanA+1)](化为正切并整理)

=3-2[1/(ab+1)+1/(bc+1)+1/(ca+1)]（简记）

=3-[2(a+b+c)^2+4(ab+bc+ca)+6]/[2(a+b+c)^2+(ab+bc+ca)+1]

=2-[3(ab+bc+ca)+6]/[2(a+b+c)^2+(ab+bc+ca)+1]

2-[3(ab+bc+ca)+6]/[2(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ca)+1]

≥2-[3(ab+bc+ca)+5]/[7(ab+bc+ca)+1]（当且仅当a=b=c时等号成立）

=11/7-(32/7)/[7(ab+bc+ca)+1]

≥11/7-(32/7)/[21(abc)^(2/3)+1]≥11/7-(32/7)/64=3/2（当且仅当a=b=c时等号成立）。

故cosA／(cosA+2cosBcosC)+cosB／(cosB+2cosAcosC)+cosC／(cosC+2cosBcosA) ≥ 3／2

当且仅当A=B=C=60度时等号成立）。