【答】圆的作图：与一园内切，与另外一园外切，是不是也可能作不出来？

dodonaomikiki

这个问题，之前木有考虑过！


现在立即建立一个模型。
          \(      
\Gamma-1半径=r,   圆心落在【0,0】上。      \)
          \(      
\Gamma-2半径=R, 圆心落在【p,q】上，与\Gamma-1相交。      \)
现在，要求在黄色区域作一个圆    \(    \Gamma-3，与\Gamma-2内切，与\Gamma-1外切      \)
   

建立方程，
好像是很简单的一件事！
          \(      
\Gamma-3圆心若为【m,n】      \),则
          \(      
\sqrt{  m^2      +n^2     }-r=R-\sqrt{  （m-p）^2      +(n-q)^2     }      \)

dodonaomikiki

反正只是考虑比例关系，
不晓得这样假设可不可以，  set:r=1,  R=2
就这么干，试试看

\(      
\sqrt{  m^2      +n^2     }-r=R-\sqrt{  （m-p）^2      +(n-q)^2     }      \)

\(      
\Longrightarrow    1-2\sqrt{  m^2      +n^2     }=4-4\sqrt{  （m-p）^2      +(n-q)^2     } +p^2+q^2-2mp-2nq    \)

\(
\Longrightarrow     4\sqrt{  （m-p）^2      +(n-q)^2     } -p^2-q^2+2mp+2nq-2\sqrt{  m^2      +n^2     }=3 \)

dodonaomikiki

\(
\Longrightarrow     4\sqrt{  （m-p）^2      +(n-q)^2     } -p^2-q^2+2mp+2nq-2\sqrt{  m^2      +n^2     }=3 \)

我进一步假设：  (p,q    ）=(2,0  )
\(
\Longrightarrow       4\sqrt{  （m-2）^2      +n^2     } -2^2+4m-2\sqrt{  m^2      +n^2     }=3 \)

\(
\Longrightarrow       4\sqrt{  （m-2）^2      +n^2     }   +4m-2\sqrt{  m^2      +n^2     }=7 \)

dodonaomikiki

\(
\Longrightarrow       4\sqrt{  （m-2）^2      +n^2     }   +4m-2\sqrt{  m^2      +n^2     }=7 \)

代数学上看，
满足这个方程的\(（m,n） \)肯定存在的！
但是结合本题，\(（m,n） \)必须落在黄色区域！
不晓得怎么来讨论，容我接下来的时间里考虑一番，  不晓得能否找到突破口。







备案附图：是针对两个圆做的【都外切的圆】，【都内切的圆】
运用两次反演
算是比较好玩！
要一个内切，一个外切，就又不晓得怎么来作图啦

dodonaomikiki

Gamma-1,   center=(0,0),   r=1
Gamma-2,   center=(2,0),   r=2

伽马3之圆心的轨迹，如图中的黑色线！
我随意作出了三个绿色园【见图】，与Gamma-1外切！与Gamma-2内切~~~~~~~这种情形显然属于特例，
不晓得可否推广！

Ysu2008

可以作，本质上就是作两圆的交点。

设小圆半径为\(r_1\)，圆心为\(O_1\)；大圆半径为\(r_2\)，圆心为\(O_2\)；
作一个半径为\(r\)的圆与小圆外切、与大圆内切。

作法如下：
1）以\(O_1\)为圆心，\(r_1+r\)长为半径作圆；
2）以\(O_2\)为圆心，\(r_2-r\)长为半径作圆；
3）以上述两圆交点之一为圆心，以\(r\)为半径作圆，即为所求。

dodonaomikiki

谢谢Ysu老师

本质上讲，应该是这样！