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圆内两相似的等腰三角形

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发表于 2023-3-13 22:10 | 显示全部楼层 |阅读模式
上网看到这个题目:

构思精巧,想到了容易做出来,是一个特殊角72度。
我依据这道题,做了一个思考,是否存在如下图的两个相似的等腰三角形(OC=CB,AC=AD),它的对应角O是多少度呢?

我通过几何画板模拟,得到这样的图形是唯一存在的,角O大概略大于48.5度,只是没有数学方法来说明它,特在此请教网友。

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发表于 2023-3-14 03:07 | 显示全部楼层
答案有无数个........



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两等腰三角要相似。  发表于 2023-3-14 07:48
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 楼主| 发表于 2023-3-14 12:57 | 显示全部楼层
shuxuestar 发表于 2023-3-13 19:07
答案有无数个........

满足楼上网友的等腰三角形不相似,但它们的一半直角三角形相似的图形似乎也只有一个解

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发表于 2023-3-14 13:37 | 显示全部楼层
ccmmjj 发表于 2023-3-14 12:57
满足楼上网友的等腰三角形不相似,但它们的一半直角三角形相似的图形似乎也只有一个解

看错题目了,不好意思
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发表于 2023-3-14 15:33 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2023-3-14 16:05 编辑

此题有解,并且解是唯一的:

这个角度等于 48.519968978053164944230633478342326484415639764988…… 度。

角度的理论值是:



计算程序如下:



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发表于 2023-3-14 15:45 | 显示全部楼层
解答如下(几何计算):


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谢谢辛苦了。  发表于 2023-3-14 16:27
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发表于 2023-3-14 15:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 shuxuestar 于 2023-3-14 17:45 编辑

这个方程谁有兴趣的话可以动手算算.......... 四倍角, 四次八次方程

8*cosa - 4/cos(pi/4 + a/4) + 1/cos(pi/4 + a/4)^2 - 4 = 0

令:pi/4 + a/4=x,

-8*cos(4*x) - 4/cos(x) + 1/cos(x)^2 - 4 = 0 ,带入倍角公式得:

-8*(8*cos(x)^4 - 8*cos(x)^2 + 1)*cos(x)^2 - 4*cos(x)^2 - 4*cos(x) + 1 = 0

化简得:

1 - 64*cos(x)^6 + 64*cos(x)^4 - 12*cos(x)^2 - 4*cos(x) = 0

因式分解为:

(8*cos(x)^3-6*cos(x)+1)*(8*cos(x)^3-2*cos(x)-1)=0

(8*cos(x)^3-6*cos(x)+1)=0
cos(pi/4 + a/4)=cos(2pi/9)
cos(pi/4 + a/4)=cos(8pi/9)
cos(pi/4 + a/4)=cos(14pi/9)

(8*cos(x)^3-2*cos(x)-1)=0
cos(pi/4 + a/4)=cbrt(sqrt(69)/144+1/16)+cbrt(-sqrt(69)/144+1/16)

cosx算出来总共四个实数解...........





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发表于 2023-3-14 16:01 | 显示全部楼层
本帖最后由 shuxuestar 于 2023-3-14 16:02 编辑
天山草 发表于 2023-3-14 15:33
此题有解,并且解是唯一的:

这个角度等于 48.519968978053164944230633478342326484415639764988……  ...


     你从头到尾编程序让计算机干活呢,在数学来说属于作弊,不算数...........

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归根结底,是求一元三次方程的实数解,然后查反三角函数值。手工办不到啊!  发表于 2023-3-15 10:10
哈哈哈,你的不也是要列方程算吗?而且也要用计算软件来算。我们本质上是一样的。区别只是我用复数坐标,你用直角坐标。我们都在用计算机作弊。幸亏这不是考试,作弊没人管。  发表于 2023-3-14 16:11
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 楼主| 发表于 2023-3-14 16:26 | 显示全部楼层
天山草 发表于 2023-3-14 07:33
此题有解,并且解是唯一的:

这个角度等于 48.519968978053164944230633478342326484415639764988……  ...

我仔细看了你的计算机做法,像是在做无限逼近呢!计算机真好用,居然能得到理论值。

点评

那个算 θ 角的方程可以用 AD 的复斜率==CF 的复斜率简化,不必把复斜率拆成实部等于实部,虚部等于虚部。但是这样做有个坏处,程序运行时间长,为 2 分钟多。而上面的程序只运行 8 秒钟。  发表于 2023-3-14 23:12
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发表于 2023-3-14 16:46 | 显示全部楼层
本帖最后由 时空伴随者 于 2023-3-14 17:17 编辑

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\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
\because\therefore\angle\parallel\perp\top\nparallel\measuredangle\sphericalangle\diamond\diamondsuit\doteq\propto\infty\bowtie\square\smile\frown\bigtriangledown\triangle\triangleleft\triangleright\bigcirc \wr\amalg\models\preceq\mid\nmid\vdash\dashv\nless\ngtr\ldots\cdots\vdots\ddots\surd\ell\flat\sharp\natural\wp\clubsuit\heartsuit\spadesuit\oint\lfloor\rfloor\lceil\rceil\lbrace\rbrace\lbrack\rbrack\vert\hbar\aleph\dagger\ddagger

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