华东师大数学分析实数稠密性例题疑问

hexiaole

华东师范大学数学分析第五版第二页例题1如图：

解答中提到y的不足近似小于等于y，x的过剩近似大于等于x。我的疑问是y的不足近似不是应该仅小于y吗，x的过剩近似不是应该仅大于x吗？为什么图中红色标记部分可以取到等号呢？

hexiaole

已和教材出版社及教材作者确认，截图红标不等式在以下情况可以取到等号：
（1）当y是负有限小数，y的不足近似可以等于y。比如-3，按照教材对于有限小数首先需要转为无限小数，-2.999...，对此无限小数取n位不足近似（n>=0）后为-3
（2）当x是正有限小数，x的过剩近似可以等于x。比如3，按照教材对于有限小数首先需要转为无限小数，2.999...，对此无限小数取n位过剩近似（n>=0）后为3

但按照上述结论，实际截图红标不等式也无法成立，因为截图红标不等式同时对x的过剩近似和y的不足近似取到了等号，同时y大于x，按照以上结论，y只有在负有限小数时可以时不足近似取到等号，x只有在正有限小数时可以取到等号，所以截图红标不等式y为负数，x为正数，负数不可能大于正数，即y不可能大于x，所以x和y不可能同时取到等号。

和教材出版社及教材作者再次确认，作者对于这个问题有反馈按照严格意义，截图红标不等式应分3种情况讨论：
（1）x，y均为正数，x作为正有限小数，它的过剩近似可以取到等号（等于x），这时y由于是正数它的不足近似无法取到等号（不等于y）
\(x\le x_n<r<\overline{y_n}<y\)
（2）x，y均为负数，y作为负有限小数，它的不足近似可以取到等号（等于y），这时x由于是负数它的过剩近似无法取到等号（不等于x）
\(x<x_n<r<\overline{y_n}\le y\)
（3）x的过剩近似取不到等号（不等于x），并且y的不足近似也取不到等号（不等于y）
\(x<x_n<r<\overline{y_n}<y\)

而当前把这3个讨论合并为一处写在教材上，即当前截图红标处，x的过剩近似取到等号以及y的不足近似也取到等号，实际如果要更加严谨，应该将教材的截图红标处按照以上3种情况讨论。
希望这个问题作者在后面版本中可以修正避免读者误解。