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楼主: wintex

已知方程 x^8+ax^4+1=0 有四个实根,且四个实根成等差数列,求 a

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发表于 2023-3-27 12:41 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2023-3-27 12:48 编辑
cgl_74 发表于 2023-3-27 12:15
3楼的问题我看了,觉得有点意思。如果不考虑重根,命题1正确,命题2错误。如果考虑重根,则1,2都是错误的 ...


多谢 cgl_74!

继续请教,问题2 改成“不算重根,x 在 (0,1] 之间最多有一个解" ,那这个问题是否正确?

还有,对于问题2,这时还有“重根”这个概念么?
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发表于 2023-3-27 17:08 | 显示全部楼层
问题2中,是否有重根的概念,我也不知道。因为一般重根是整幂次方多项式用到,应用于基本代数定理,n次方多项式有n个根。我们就强调不同的根即可。

问题2 改成“不算重根,x 在 (0,1] 之间最多有一个解" ,那这个问题是否正确?
这个问题仍然不正确。因为在函数分析中没有发现这之间有紧密联系;而且从中可以找到反例。
反例如下:

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精妙!感谢。  发表于 2023-3-27 17:42
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发表于 2023-3-27 17:35 | 显示全部楼层
顺便补充一下问题1的证明:

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辛苦了!非常感谢。  发表于 2023-3-27 17:40

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发表于 2023-3-27 18:21 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2023-3-27 18:37 编辑
cgl_74 发表于 2023-3-27 17:08
问题2中,是否有重根的概念,我也不知道。因为一般重根是整幂次方多项式用到,应用于基本代数定理,n次方多 ...


我也找到一个解法了,以本题为例。

x=ky,代入 x8+ax4+1=0,得 k8y8+ak4y4+1=0

当 k 足够大时,故必存在实数 q 和 r ,使得 y8+qy4+r=0 有 4 个实数解,且此 4 个解均不为 0,并位于 (-1, 1) 之中。

易知,同样的结论对 m -> 8, n -> 4 也成立。

所以,这时 (0, 1) 之中必有 2 个解。

并且根据 #13 的证明,可以得出,满足 x>0 的解不超过 2 个。
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发表于 2023-3-27 19:00 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2023-3-27 20:31 编辑
波斯猫猫 发表于 2023-3-26 19:56
少写了一步,本是设四个实根为e-3d,e-d,e+d,e+3d (d>0),则四个虚根为e-3di,e-di,e+di,e+3di(这 ...


我觉得可能还是推不出四个虚根为 e-3di,e-di,e+di,e+3di 。

实际上,现已知 -3d,-d,  d, 3d 是其 4 个实数根(d ≠ 0),由于 i^4 = 1,故立知 -3di, -di, di, 3di 是它的另外 4 个根。

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注意“双四次”方程的特点和题目具体的条件,并请参考2楼。  发表于 2023-3-27 19:53
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发表于 2023-3-28 12:00 | 显示全部楼层
题:已知方程 x^8+ax^4+1=0 有四个实根,且四个实根成等差数列,求 a 。

思路:显然y=x^8+ax^4+1是偶函数,故四个实根必关于x轴对称。又四个实根成等差数列,

故可设四个实根为-3d,-d,d,3d (d>0)。把d和3d分别代入 x^8+ax^4+1=0中得,

d^8+ad^4+1=0 和(3d)^8+a(3d)^4+1=0,消去a,解得d^4=1/9。把此代入前式

得,1/81+a/9+1=0,解得a=-82/9。
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发表于 2023-3-28 17:39 | 显示全部楼层
长见识了,悠闲数学论坛给出了一般性的结论:

实根数目可以由笛卡尔符号法则界定,有一个一般的结果是说,多项式实根(互不相同)数目不超过 2X项数-2.

kuing.infinityfreeapp.com/forum.php?mod=viewthread&tid=10560
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发表于 2023-3-28 20:16 | 显示全部楼层
uk702 发表于 2023-3-28 17:39
长见识了,悠闲数学论坛给出了一般性的结论:

实根数目可以由笛卡尔符号法则界定,有一个一般的结果是说 ...

那个结论的描述不准确,很容易给出反例。
准确的结论是:不同根的数量不超过2*(项数)-1. 可以通过数学归纳法,以及取导数降幂的方法(类似13楼的证明)进行证明。
比如x=0;1项1根;x^3-x=0; 2项3根。
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发表于 2023-3-31 07:23 | 显示全部楼层
2C8EA3D0-DC89-4F25-94A3-2E4DE4 ...

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发表于 2023-3-31 09:57 | 显示全部楼层
楼上 nasaliu2012 的解答已收藏。
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