用四个三边长分别为 5、6、7 的三角形纸板，拼接成一个四面体，求这个四面体的体积

王守恩

天山草 发表于 2023-3-29 13:42

谢谢天山草！公式没有问题。

Table[Sqrt[( n^6 - 14 n^4 - 32 n^2)/72], {n, 4, 20}]

{0, (15 Sqrt[3/2])/2, 2 Sqrt[95], (7 Sqrt[187/2])/2, 16 Sqrt[11],
(3 Sqrt[5395/2])/2, 10 Sqrt[119], (11 Sqrt[1435/2])/2, 16 Sqrt[146],
(39 Sqrt[323/2])/2, 42 Sqrt[55],(5 Sqrt[47443/2])/2, 32 Sqrt[215],
(17 Sqrt[8827/2])/2, 6 Sqrt[12551], (209 Sqrt[115/2])/2, 80 Sqrt[134]}

Table[Sqrt[( (n - 3) (n + 1)^2 (n + 5) (n^2 + 2 n + 3))/72], {n, 3, 19}]

{0, (15 Sqrt[3/2])/2, 2 Sqrt[95], (7 Sqrt[187/2])/2, 16 Sqrt[11],
(3 Sqrt[5395/2])/2, 10 Sqrt[119], (11 Sqrt[1435/2])/2, 16 Sqrt[146],
(39 Sqrt[323/2])/2, 42 Sqrt[55], (5 Sqrt[47443/2])/2, 32 Sqrt[215],
(17 Sqrt[8827/2])/2, 6 Sqrt[12551], (209 Sqrt[115/2])/2, 80 Sqrt[134]}

王守恩

谢谢天山草！把"四面体体积公式"一并验算验算？谢谢天山草！

把四面体看作一个平放在桌面上的三角形ABC(P(顶点)是内部一点)，6条棱

\(BC=\sqrt{a},CA=\sqrt{b},AB=\sqrt{c},PA=\sqrt{A},PB=\sqrt{B},PC=\sqrt{C}\)

四面体体积公式如下：

\(\sqrt{\frac{aA(b+B+c+C)+bB(a+A+c+C)+cC(a+A+b+B)-(aA(a+A)+bB(b+B)+cC(c+C)+a(bc+BC)+A(bC+Bc))}{144}}\)

宇宙无理数

这样的四面体称为等腰四面体. 去计算一下等腰四面体的内心与重心之间的距离.

王守恩

天山草 发表于 2023-3-29 13:42

谢谢天山草！把"四面体体积公式"一并验算验算？谢谢天山草(您那个公式我不会用)！

把四面体看作一个平放在桌面上的三角形ABC (P是顶点)，6条棱

\(BC=\sqrt{a},CA=\sqrt{b},AB=\sqrt{c},PA=\sqrt{A},PB=\sqrt{B},PC=\sqrt{C}\)

"四面体体积公式"(只有一个"-"号)如下：

\(\sqrt{\frac{aA(b+B+c+C)+bB(a+A+c+C)+cC(a+A+b+B)-(aA(a+A)+bB(b+B)+cC(c+C)+a(bc+BC)+A(bC+Bc))}{144}}\)

这公式比较实用，譬如：

\(6条棱是6个连续整数，四面体体积=\sqrt{\frac{ 2n^6 - 6n^5-61 n^4 +240n^3- 256n^2}{144}}\)
\(每个面是3个连续整数，四面体体积=\sqrt{\frac{ n^6 - 14 n^4 - 32 n^2}{72}}\)
\(6条棱都相同，这个四面体体积=\sqrt{\frac{ n^6}{72}}\)

ccmmjj

呵呵，解答已经很完整了，谢谢大家。其实我记不住这个公式，临时推算了一下，大致也是如此。这个帖子可以下沉了。

波斯猫猫

如果不追求用公式解决，用坐标法也是一个不错的路径。用到的东西是勾股定理，空间两点距离和解方程组（不难，较易计算）。