已知平面上一点 P 到正三角形 ΔABC 三顶点的距离为 3,5,7 ，求正三角形 ΔABC 的面积

wintex

wintex 发表于 2023-4-2 23:51
但是不對

但我想知道有無類似正確結果

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

王守恩

已知平面上一点到正三角形三顶点的距离为 A,B,C,  求正三角形边长。

\(当四面体体积=0时,可求得正三角形边长\ a,不妨约定A≤B≤C≤A+B\)

\(\sqrt{\frac{a^2(A^2B^2+B^2C^2+C^2A^2+a^2(A^2+B^2+C^2)-a^4-A^4-B^4-C^4)}{144}}=0\)

\(a^2(A^2B^2+B^2C^2+C^2A^2+a^2(A^2+B^2+C^2)-a^4-A^4-B^4-C^4)=0\)

\(A^2B^2+B^2C^2+C^2A^2+a^2(A^2+B^2+C^2)-a^4-A^4-B^4-C^4=0\)

\(a^4 - a^2 (A^2 + B^2 + C^2) - (A^2 B^2 + B^2 C^2 + C^2 A^2 - A^4 - B^4 - C^4) =0\)

\(a^2 - a (A^2 + B^2 + C^2) - (A^2 B^2 + B^2 C^2 + C^2 A^2 - A^4 - B^4 - C^4) =0\)

化简，至此，也就是解一元二次方程，2个解。

\((a_{1})^2=\frac{A^2+B^2+C^2+\sqrt{3(2A^2B^2+2B^2C^2+2C^2A^2-A^4-B^4-C^4)}}{2}\)

\((a_{2})^2=\frac{A^2+B^2+C^2-\sqrt{3(2A^2B^2+2B^2C^2+2C^2A^2-A^4-B^4-C^4)}}{2}\)

\(特别地,当A=3,B=5,C=7,解得a_{1}=8,a_{2}=\sqrt{19}\)

陈九章

几年前，辅导学生写的文章，差点在《数学传播》上发表，
审稿老师、台大某名教授也给出了一个“高观点”的证明。

陈九章

陈九章

陈九章

陈九章

luyuanhong