a,b,c,d 为 x^5-32=0 的四个相异虚根，f(x)=x^3+x^2+1，求 f(a)+f(b)+f(c)+f(d)

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时空伴随者

\(a,b,c,d 为 x^5-32=0 的四个相异虚根，f(x)=x^3+x^2+1\)，求 f(a)+f(b)+f(c)+f(d)
如果不清楚虚根的性质，就用待定系数法。
\(x^5-32=0，即(x-2)(x^4+2x^3+4x^2+8x+16)=0\)
a,b,c,d是四个相异虚根，有\((x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=x^4+2x^3+4x^2+8x+16\)
展开比较相应系数得
a+b+c+d=-2 ……①
ab+ac+ad+bc+bd+cd=4 ……②
abc+abd+acd+bcd=-8 ……③
abcd=16……④
①两边平方-②×2得\(a^2+b^2+c^2+d^2=-4\)……⑤
①×⑤-①×②+③×3得\(a^3+b^3+c^3+d^3=-8\)……⑥
⑥+⑤+4就是 f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=-8

波斯猫猫

题：a,b,c,d 为 x^5-32=0 的四个相异虚根，f(x)=x^3+x^2+1，求 f(a)+f(b)+f(c)+f(d)。

思路(用韦达定理直算)：显然，a,b,c,d 为 x^4+2x^3+4x^2+8x+16=0 的四个相异虚根。

故，a^4+b^4+c^4+d^4+2(a^3+b^3+c^3+d^3)+4(a^2+b^2+c^2+d^2)+8(a+b+c+d)+64=0，

即a^4+b^4+c^4+d^4+2(a^3+b^3+c^3+d^3)+4(a^2+b^2+c^2+d^2)=-48。

显然，a^2+b^2+c^2+d^2=(a+b+c+d)^2-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)=4-8=-4。

而a^4+b^4+c^4+d^4=32(1/a+1/b+1/c+1/d)=32(abc+abd+acd+bcd)/(abcd)=32x(-8)/16=-16，

故-16+2(a^3+b^3+c^3+d^3)-16=-48，即a^3+b^3+c^3+d^3=-8。

从而， f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=a^3+b^3+c^3+d^3+a^2+b^2+c^2+d^2+4=-8。