已知 f(n)≥n ，是否可以推出 f(f(n))+1≥f(n)+1 ？

wufaxian

《陶哲轩教你学数学》p55

已知f(n)\(\ge n\)  是否可以推出以下不等式

f(f(n))+1\(\ge f\left( n\right)+1\)

対以上结论我有点怀疑。已知条件 只是告诉 f(n) 或等于 n  ，据此最多得出f(f(n)) 或 =f(n)   但是能得出 f(f(n))\(\ge\) f(n) 么？或者说“等于”是“大于等于”的充要条件么？

波斯猫猫

不用怀疑。把f(x) ≥x中的x用f(x)替换，有f[f(x) ] ≥f(x) ,即f[f(x) ] +1≥f(x)+1。
f(x) ≥x是f(x) ＞x，或f(x) =x的简写或合写。f(x) ≥x可以有以下三种情形：
1，f(x) ＞x（只大于，不相等）；
2，f(x) =x （只相等，不大于）；
3，f(x) ＞x且f(x) =x （既大于又相等）。

波斯猫猫

说说数学中的“或，且，非”（1---或）
顶上来了，可以参考一下。

wufaxian

波斯猫猫 发表于 2023-4-6 22:14
不用怀疑。把f(x) ≥x中的x用f(x)替换，有f[f(x) ] ≥f(x) ,即f[f(x) ] +1≥f(x)+1。
f(x) ≥x是f(x) ＞x ...

谢谢讲解：
关于第三种情况：f(x) ＞x且f(x) =x （既大于又相等）。
可否举个例子？

wufaxian

波斯猫猫 发表于 2023-4-6 22:14
不用怀疑。把f(x) ≥x中的x用f(x)替换，有f[f(x) ] ≥f(x) ,即f[f(x) ] +1≥f(x)+1。
f(x) ≥x是f(x) ＞x ...

我头脑中有一个反例
1\(\ge0\)
有函数 f(x)=-x   ,很明显这是一个减函数。那么将1 和0 分别带入函数自变量。那么就会出现f(1)\(\ge\) f(0)  于是推出了-1大于等于0的结论。这是错误的吧？ -1最多\(\le\) 0

所以我觉得因为f(n)\(\ge n\)  ---->f(f(n))\(\ge f(n)\)  是有问题的。

wufaxian

还是不太明白。哪位老师再讲讲。