证明不等式： (sinx／x)^2+tanx／x＞2（0＜x＜π／2）

ccmmjj

在（0，π/2)上，有不等式 sin x < x <tan x，它的几何意义非常明显，如果稍加处理，还可以用几何方法证明 sin x+tan x > 2x。

所以在我看来，这两个不等式都可算作几何不等式。

然而如下图不等式据说也是成立的，我看不出它的几何意义，所以不知道有什么好的推证，希望有人教我。图片截取自网络。

elim

令 \(\small f(x)=x^2\cos x\big(\big(\dfrac{\sin x}{x}\big)^2+\dfrac{\tan x}{x}-2\big)=\sin^2x\cos x+x\sin x-2x^2\cos x\)
则 \(\small f’’(x)=2x^2\cos x+7x\sin x-9\cos x\sin^2x=2\cos x(x^2-\sin^2x)+7(x-\cos x\sin x)\sin x\)
故 \(f’\) 严格增, 易见 \(f(0)=f’(0)=0\), 所以 \(f(x) >0\;(0< x< \pi/2).\)

ccmmjj126

elim 发表于 2023-4-7 20:18
令 \(\small f(x)=x^2\cos x\big(\big(\dfrac{\sin x}{x}\big)^2+\dfrac{\tan x}{x}-2\big)=\sin^2x\cos x+ ...

想到用二阶导，果然巧妙。

波斯猫猫

证明不等式： (sinx／x)^2+tanx／x＞2（0＜x＜π／2）。

思路：由基本三角不等式sinx＞x-x^3/6，tanx＞x+x^3/3有，

(sinx／x)^2+tanx／x＞[(x-x^3/6)/x]^2+(x+x^3/3)/x

=[(1-x^2/6)]^2+1+x^2/3=2+x^4/36＞2。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。

ccmmjj126

波斯猫猫 发表于 2023-4-8 16:34
证明不等式： (sinx／x)^2+tanx／x＞2（0＜x＜π／2）。

思路：由基本三角不等式sinx＞x-x^3/6，tanx＞x ...

这是我见过的最简单的证明！谢谢波斯猫。现在可以思考一下这个升级版的问题了：
在（0＜x＜π／2）中求满足 (sinx／x)^n+tanx／x＞2的n的最大值。