\(方程\frac{10^a+1}{99k+22}＝9m+5，有正整数解，没有负整数解\)

太阳

\(已知:素数a＞0，未知数k和m，方程\frac{10^a+1}{99k+22}＝9m+5，有正整数解，没有负根\)
\(判断:9k+2是素数，9m+5是素数\)
\(已知:素数a＞0，未知数k和m，方程\frac{10^a+1}{99k+44}＝9m+7，有正整数解，没有负根\)
\(判断:9k+4是素数，9m+7是素数\)
\(已知:素数a＞0，未知数k和m，方程\frac{10^a+1}{99k+88}＝9m+8，有正整数解，没有负根\)
\(判断:9k+8是素数，9m+8是素数\)

太阳

\(例1:a＝29，方程\frac{10^{29}+1}{99k+55}＝9m+2\)
\(有正整数解k＝6，m＝17120356103406950864577983，没有负根\)
\(判断:9\times6+5是素数，9\times17120356103406950864577983+2是素数\)

太阳

\(已知:素数a＞0，未知数k和m，方程\frac{10^a+1}{99k+22}＝9m+5，有正整数解，没有负根\)
\(判断:9k+2是素数，9m+5是素数\)
\(判断方程:\frac{10^a+1}{99k+22}＝9m+5，有正整数解，没有负根\)
\(结论:9k+2是素数，9m+5是素数\)
\(快速判断方程有正整数解，没有负根，找到大素数非常简单\)

太阳

\(是否能快速判断方程有正整数解？没有负根？最重要的一步，一步千里啊！\)

太阳

\(已知:素数a＞0，未知数k和m，方程\frac{10^a+1}{99k+22}＝9m+5，有正整数解，没有负根\)
\(判断:9k+2是素数，9m+5是素数\)
\(已知:素数a＞0，未知数k和m，方程\frac{10^a+1}{99k+44}＝9m+7，有正整数解，没有负根\)
\(判断:9k+4是素数，9m+7是素数\)
\(已知:素数a＞0，未知数k和m，方程\frac{10^a+1}{99k+88}＝9m+8，有一组正整数解，有一组负整数解\)
\(判断:9k+8是素数，9m+8是素数\)

太阳

已知:素数\(a\)＞0，未知数\(k\)和\(m\)，方程\({10^a+1\over 99k+22}\)＝\(9m\)+5，有正整数解，没有负根
判断:\(9k\)+2是素数，\(9m\)+5是素数
已知:素数\(a\)＞0，未知数\(k\)和\(m\)，方程\({10^a+1\over 99k+44}\)＝\(9m\)+7，有正整数解，没有负根
判断:\(9m\)+4是素数，\(9m\)+7是素数

太阳

例1：\(a\)＝29，方程\({10^a+1\over 99k+55}\)＝\(9m\)+2，有正整数解
\(k\)＝6，\(m\)＝17120356103406950864577983，没有负根
判断：9×6+5是素数，9×17120356103406950864577983+2是素数

yangchuanju

10^k+1是一个100…01型的正整数，当k是奇数时它是11的倍数，
10^1+1=11,  10^3+1=1001=11*91,  10^5+1=100001=11*9091,  10^7+1=11*909091，……
(10^k+1)/11是一个模90余1的正整数，也是一个模9余1的正整数。

素数按模9的余数分类有模9余1,2,4,5,7,8六种。
1*1=1，模9仍余1；
1*2=2，1*4=4，1*5=5，1*7=7，1*8=8，2*2=4，2*4=8，2*7=14，2*8=16，4*4=16，4*5=20，4*8=32，5*5=25，5*7=35，5*8=40，7*7=49，7*8=56，模9不余1；
但2*5=10，4*7=28，8*8=64，模9余1。
要构成模9余1的合数，6种素数都有可能；1*1，2*5，4*7，8*8都行。

如果(10^k+1)/11是一个二合数，则它的两个素因子要么模9都余1，都余8；要么一个余2另一个余5，或者一个余4另一个余7。
在无穷多个(10^k+1)/11中，肯定有许多是二合数的，故各个方程都有解，且都是素数；
然而(10^k+1)/11是3合数、4合数、5合数的更多，两个因子不会再都是素数。

yangchuanju

还需要翻译吗？
太阳先生命题中的“判断”是“求证”的改进版，依旧是要你寻找是二合数的(10^k+1)/11型正整数。