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请判断 cos(sinx) 是否为周期函数?若是周期函数,它的周期是什么?

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发表于 2023-4-9 09:41 | 显示全部楼层 |阅读模式
請問數學

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发表于 2023-4-9 14:25 | 显示全部楼层
cos(sin(π+x))=cos(sinx)=cos(sinx)
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发表于 2023-4-9 14:26 | 显示全部楼层
所以周期为π

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謝謝老師  发表于 2023-4-9 20:07
112718  发表于 2023-4-9 20:07
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发表于 2023-4-9 21:55 | 显示全部楼层
题:请判断 cossinx是否为周期函数?若是周期函数,它的周期是什么?

思路:记f(x)= cossinx,显然f(x+π)= cossin(x+π)=cos(-sinx)= cossinx=f(x),

故π是f(x)的一个周期。

假设t (0<t<π)也是f(x)的一个周期,则cossin(x+t)=cossinx,2cossin(x+t)-2cossinx=0,

或-sin[sin(x+t)/2+sinx/2].sin[sin(x+t)/2-sinx/2]=0。

故,sin(x+t)±sinx=2kπ (k∈Z),且对任意x∈R皆成立。

取x=0,有sint=2kπ,故-1≤2kπ≤1,即k=0,亦即sint=0。而此在(0,π)上无解,即不存在。

故,T=π是f(x)的最小正周期。即f(x)的周期T=π。
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