设 a,b,c 是 x^3-4x+1=0 的三根，求 (a+1)／(a-1)^3+(b+1)／(b-1)^3+(c+1)／(c-1)^3

wintex

设 a,b,c 是 x^3-4x+1=0 的三根，求 (a+1)／(a-1)^3+(b+1)／(b-1)^3+(c+1)／(c-1)^3

Nicolas2050

一元三次方程韦达定理：

设三次方程为ax^3+bx^2+cx+d=0

三个根分别为x1，x2，x3，则方程又可表示为a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0

即ax^3-a(x1+x2+x3)x^2+a(x1*x2+x2*x3+x3*x1)-ax1*x2*x3=0

对比原方程ax^3+bx^2+cx+d=0 可知

x1+x2+x3=-b/a

x1*x2+x2*x3+x3*x1=c/a

x1*x2*x3=-d/a

∴在本题中： x^3-4x+1=0
a+b+c=0 ；
ab+bc+ac=-4 ；
abc=-1；

约分，再把a+b+c=0 ，ab+bc+ac=-4 ，abc=-1 代入求得：

luyuanhong

波斯猫猫

题：设a,b,c 是 x^3-4x+1=0 的三根，求 (a+1)／(a-1)^3+(b+1)／(b-1)^3+(c+1)／(c-1)^3。

思路：令a-1=e，则 (e+1)^3-4 (e+1)+1=0，即e+2=e^2(e+3)。

同理，令b-1=k，c-1=r，则k+2=k^2(k+3)，r+2=r^2(r+3)。(e,k,r都是(x+1)^3-4(x+1)+1=0 ，

即x^3+3x^2-x-2=0的根)

故， (a+1)／(a-1)^3+(b+1)／(b-1)^3+(c+1)／(c-1)^3=(e+2)／e^3+(k+2)／k^3+(r+2)／r^3

=(e+3)／e+(k+3)／k+(r+3)／r=3+3(ek+er+kr)/(ekr)=3+3.(-1)/2=3/2。

luyuanhong

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