素数个数平方求哥猜素数对方法探讨

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素数个数平方求哥猜素数对方法探讨

要求一个偶数N的哥德巴赫猜想素数对数可以用该偶数以内的素数个数π(N)的平方进行计算，
计算式可采用R=c*∏(p-1)/(p-2)*π(N)^2/N，
式中c等于0.6601618158468695739278121100145557784326233602847334133194484233354056423...（孪生素数常数），
连乘号中的p为偶数N平方根内的能够整除N的所有奇素数因子。

请注意，我在这里是探讨如何使计算值尽量接近于偶数N的哥猜素数对真实值，而非计算什么下限值，
因而请只研究下限值的不要乱加评论！

取尽22万以内的全部偶数，常数C取作0.660161816，分别计算出各个偶数的单计哥猜数、波动因子、素数个数、
c*∏(p-1)/(p-2)*π(N)^2/N（简称素数平方）及它与这些偶数单计哥猜数的比值，得到
素数平方/单哥的最小值是0.52812945（对应的偶数是4），最大值是2.75067423（对应的偶数是12）。
在109999个偶数（不含2）中，比值小于0.8的有14个，0.8-0.9的133个，0.9-1.0的38239个，
1.0-1.1的71145个，1.1-1.2的384个，1.2-1.3的49个，大于1.2的28个。
从统计表可以看得出，用N内素数个数的平方计算哥猜素数对的精度还是相当高的。
比值        总个数        区间        区间个数        占比
<0.6        2        <0.6        2        0.000018
<0.7        7        0.6--0.7        5        0.000045
<0.8        21        0.7--0.8        14        0.000127
<0.9        154        0.8--0.9        133        0.001209
<1.0        38393        0.9--1.0        38239        0.347627
<1.1        109538        1.0--1.1        71145        0.646773
<1.2        109922        1.1--1.2        384        0.003491
<1.3        109971        1.2--1.3        49        0.000445
<1.4        109985        1.3--1.4        14        0.000127
<1.5        109993        1.4--1.5        8        0.000073
<1.6        109993        1.5--1.6        0        0.000000
<1.7        109995        1.6--1.7        2        0.000018
<1.8        109997        1.7--1.8        2        0.000018
<1.9        109997        1.8--1.9        0        0.000000
<2.0        109998        1.9--2.0        1        0.000009
<3.0        109999        2.0--3.0        1        0.000009

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进一步分析，在0.9-1.1之间的占99%；而多数集中在0.98-1.03之中。
因而用素数平方计算哥德巴赫猜想素数对是可行的。
区间        区间个数        占比
0.90--0.91        55        0.000500
0.91--0.92        80        0.000727
0.92--0.93        142        0.001291
0.93--0.94        200        0.001818
0.94--0.95        394        0.003582
0.95--0.96        820        0.007455
0.96--0.97        1855        0.016864
0.97--0.98        4465        0.040591
0.98--0.99        10206        0.092782
0.99--1.00        20022        0.182018
1.00--1.01        26546        0.241327
1.01--1.02        21582        0.196200
1.02--1.03        11985        0.108955
1.03--1.04        5470        0.049727
1.04--1.05        2643        0.024027
1.05--1.06        1354        0.012309
1.06--1.07        718        0.006527
1.07--1.08        424        0.003855
1.08--1.09        260        0.002364
1.09--1.10        163        0.001482

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10^n内素数个数        10^n单计素数对
A006880         A065577
1 4        1 2
2 25        2 6
3 168        3 28
4 1229        4 127
5 9592        5 810
6 78498        6 5402
7 664579        7 38807
8 5761455        8 291400
9 50847534        9 2274205
10 455052511        10 18200488
11 4118054813        11 149091160
12 37607912018        12 1243722370
13 346065536839        13 10533150855
14 3204941750802        14 90350630388
15 29844570422669       
16 279238341033925       
17 2623557157654233       
18 24739954287740860       
19 234057667276344607       
20 2220819602560918840       
21 21127269486018731928       
22 201467286689315906290       
23 1925320391606803968923       
24 18435599767349200867866       
25 176846309399143769411680       
26 1699246750872437141327603       
27 16352460426841680446427399       
28 157589269275973410412739598       
29 1520698109714272166094258063       

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用10^n以内的素数个数计算10^n的哥猜素数对——0.660161816*4/3*π(x)^2/x，
当x大于等于10^6时计算值与素数对真实值之比稍微大于1一点点：                               
偶数x        10^n内素数个数        单哥        0.66*4/3*π(x)^2/x        …/单哥
10        4        2        1.408345207        0.704173
100        25        6        5.501348467        0.916891
1000        168        28        24.84320946        0.887257
10000        1229        127        132.9513965        1.046861
100000        9592        810        809.8553914        0.999821
1000000        78498        5402        5423.83315        1.004042
10000000        664579        38807        38876.07089        1.001780
100000000        5761455        291400        292182.0191        1.002684
1000000000        50847534        2274205        2275772.936        1.000689
10000000000        455052511        18200488        18226873.02        1.001450
1E+11        4118054813        149091160        149270292.4        1.001201
1E+12        37607912018        1243722370        1244937594        1.000977
1E+13        346065536839         10533150855        10541583216        1.000801
1E+14        3204941750802         90350630388        90412695877        1.000687
1E+15        2.98446E+13        ————        7.84007E+11       
1E+16        2.79238E+14        ————        6.8634E+12       
1E+17        2.62356E+15        ————        6.05857E+13       
1E+18        2.474E+16        ————        5.3875E+14       
1E+19        2.34058E+17        ————        4.82209E+15       
1E+20        2.22082E+18        ————        4.34126E+16       
1E+21        2.11273E+19        ————        3.92894E+17       
1E+22        2.01467E+20        ————        3.57271E+18       
1E+23        1.92532E+21        ————        3.26284E+19       
1E+24        1.84356E+22        ————        2.9916E+20       
1E+25        1.76846E+23        ————        2.75284E+21       
1E+26        1.69925E+24        ————        2.54157E+22       
1E+27        1.63525E+25        ————        2.35372E+23       
1E+28        1.57589E+26        ————        2.18596E+24       
1E+29        1.5207E+27        ————        2.03552E+25       

yangchuanju

用偶数x以内的素数个数的平方计算其哥德巴赫猜想素数对数，可能出现x越大素数对数计算值越小的反常现象，
这是因为两个素数的间隙可能相当大，一个小偶数和一个较大偶数之内的素数个数是相同的，计算式分子相同，分母则小偶数为小，大偶数为大所致。例

偶数        素数个数        π(x)^2/x
821480        65528        5227.05213
821482        65528        5227.039404
821484        65528        5227.026679
821486        65528        5227.013953
821488        65528        5227.001227

cuikun-186

yangchuanju 发表于 2023-4-18 12:42
用偶数x以内的素数个数的平方计算其哥德巴赫猜想素数对数，可能出现x越大素数对数计算值越小的反常现象，
...

这也是有人用极限观点说r2(N)=0的理由！

其实这是错误的，因为π(x)^2/x恒大于0，即r2(N)恒大于1

同时这也是讨论下限值的意义。