ABCD 是正方形，E 在 BC 中垂线上，EBG 共线且 AG//BD，求证：BD 平分 ∠GDE

uk702

如图，正方形ABCD，BE=CE，过 A 作 BD 的平行线交 EB 延长线于 G，求证：BD 平分 ∠GDE。

天山草

uk702

求纯几何证法，包括射影的方法，最好不用同一法。

天山草

测试两角相等的方法至少有下面这五种：

uk702

折腾了一天，也给出了一个证法。

连接 FE、IJ，则有 FE//AB

由 FE//AB => FJ/JB=FE/AB

再考虑 △ABF 被 KID 截取，由梅涅劳斯定理，有
AK/KB BD/DF FI/IA = 1 => FI/IA = KB/2AK

又 DB//AG => KB/AK=BC/AG => KB/2AK = BF/AG

∴ FI/IA = BF/AG = HF/HA = FE/AB = FJ/JB
∴ IJ//AB
∴ IJ⊥AD，又 AF⊥DJ，即 I 是 △AJD 的垂心
∴ DI⊥AJ，也就是 DG⊥AE

由于AE⊥DG，∴ ∠KDA=∠KAE=∠CDE
∴ ∠KDB=∠EDB

uk702

贴吧给了个神一般的证明。

由于 AG//OB，AB//OE，∴△GAB∽△BOE
∴ GA/AB=OB/OE
∴ GA/AD=OA/OE，又 ∠GAD=135°=∠AOB
∴ △GAD∽△AOE
∴ ∠ADG=∠OEA=∠BAE=∠CDE
∴ ∠GDB=∠ EDB

波斯猫猫

题：正方形ABCD，E在BC中垂线上，EBG共线且AG//BD，求证：BD平分∠GDE。

解析法思路（主贴图）：设B(0，0)，A(0，2)，D(2，2)，E（1，-a）。易得DE:  (a+2)x-y-2(a+1)=0。

由AG（y=x+2）和EG（y=-ax）解得G(-2/(a+1)，2a/(a+1))。故DG:  x- (a+2)y+2(a+1)=0。

故，B(0，0)到DE和DG距离相等，即BD平分∠GDE。

luyuanhong

楼上的解答已收藏。

王守恩

\(\cos(∠BDE)=\frac{\big(\sqrt{8}\big)^2+\big(\sqrt{2^2+(1/\cos(B))^2-2*2(1/\cos(B))\cos(90+B)}\big)^2-\big(1/\cos(B)\big)^2}{2*(\sqrt{8})\sqrt{2^2+(1/\cos(B))^2-2*2(1/\cos(B))\cos(90+B)}}\)

\(\cos(∠BDG)=\frac{\big(\sqrt{8}\big)^2+\big(\sqrt{2^2+(2\cos(B)/\sin(45+B))^2+2*2(2\cos(B)/\sin(45+B))\cos(45)}\big)^2-\big(2\sin(45)/\sin(45+B)\big)^2}{2*(\sqrt{8})\sqrt{2^2+(2\cos(B)/\sin(45+B))^2+2*2(2\cos(B)/\sin(45+B))\cos(45)}}\)

波斯猫猫

题：正方形ABCD，E在BC中垂线上，EBG共线且AG//BD，求证：BD平分∠GDE。

解析法思路（主贴图）：设B(0，0)，A(0，2)，D(2，2)，E（1，-a）。易得DE的斜率为:  a+2。

由AG（y=x+2）和EG（y=-ax）解得G(-2/(a+1)，2a/(a+1))。故DG的斜率为:  1/(a+2)。

又∣a+2-1∣/∣1+a+2∣=∣1/(a+2)-1∣/∣1+1/(a+2)∣=(a+1)/(a+3)，故BD平分∠GDE。