z 为复数，已知 Arg[(z+k)／z]=π／6 ，Arg[(z+2k)／(z+k)]=π／4 ，k＞0 ，求 k／z

wintex

110352 請問數學

luyuanhong

波斯猫猫

题：z 为复数，已知 Arg[(z+k)／z]=π／6 ，Arg[(z+2k)／(z+k)]=π／4 ，k＞0 ，求 k／z。

思路：由条件可设(z+k)／z=r[cos(π／6 )+isin(π／6 )]，(z+2k)／z=t[cos(5π／12)+isin(5π／12)]，

则k／z=rcos(π／6 )-1+irsin(π／6 )=[tcos(5π／12)-1+itsin(5π／12)]/2。

故，2rcos(π／6 )-2=tcos(5π／12)-1，2rsin(π／6 )=tsin(5π／12)，或[2rcos(π／6 )-1]/r=cot(5π／12)。

解得，r=(1+√3)/4。故k／z=rcos(π／6 )-1+irsin(π／6 )=[√3-5+(1+√3)i]/8。

luyuanhong

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