正三角的趣味

王守恩

\(\frac{DE}{DC}=\frac{3}{4}=\frac{\sin(\theta)}{\sin(60+\theta)}\Rightarrow\cos(\theta)=\frac{5}{2\sqrt{13}},\sin(\theta)=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}\)
\(PC^2=3^2+4^2-2*3*4\cos(60)=13=x^2\)
\(PG^2=6^2+x^2-2*6x*\cos(\theta)=19\)
\(PB^2=4^2+x^2+2*4x*\cos(60+\theta)=21\)

ccmmjj

我对这个问题的解答：首先考虑到3、4的公倍数12，建立12格的正三角形网格；

将题目要求的正三角形引入到网格中去；

根据正三角形网格的性质，连接两格点的每一条线（简称格点线段）段绕着其一端点旋转60度在网格内仍然是一条格点线段。
通过图中线段交接，知道M、N必然在AH上。
以格点线段的为对顶点的格线平行四边形中最小的那一个，称它为这条格点线段的最小平行四边形。定义每个小正三角格子面积为1，
则包含：图中左边最小正三角边的最小平行四边形是1×3的，数出它的面积等于\(3×3+(3-1)^2=13\)；
                          右边正三角边的最小平行四边形是2×3的，数出它的面积等于\(6×3+（3-2)^2=19\)；
                          上面正三角边的最小平行四边形是1×4的，数出它的面积等于\(4×3+(4-1)^2=21\)；
这样就数出了它们的面积比\(13 : 19 : 21\)
所以说它是一道小学生的数学题。下图是一道日本的小学竞赛题，也是关于正三角网格的，有兴趣就看一看吧。

常量

拓展一下思维，与笛卡儿直角坐标系不同，我们建立60度角坐标系xoy（x轴与DH重合，y轴与DA重合，D为原点)，设C、E坐标分别是（0，4）、（3，0），则B、G坐标分别为（0，8）、（9，0），容易求得P坐标为（4，3），则两坐标点的距离不再遵循勾股定理，而是60度角余弦，所以，红蓝绿三角形的边长平方分别为4*4+3*3-3*4=13、5*5+3*3-3*5=19、5*5+4*4-4*5=21

dodonaomikiki

哈哈，我笑啦！
确实比较好玩，
支持的！

dodonaomikiki

哇~~~看到最后，
里面包含了很多知识~~~那这题目，
很有蕴含，
也不简单！是个好题！