4^a+2^a+1的最大素因子

yangchuanju

太阳 发表于 2023-5-9 06:44
4^418+2^418+1，复合因子(2^836+2^418+1)/800594313431043275064149904996914078513728979970328751414181 ...

2^418-1<126>=
3×23×89×419×683×174763×524287×94803416684681<14>×1512348937147247<16>×3410623284654639440707<22>×5346950541323960232319657<25>×1607792018780394024095514317003<31>
2^1254-1<378>=
3^2×7×23×67×89×419×571×683×11287×20857×32377×174763×524287×599479×1212847×12471031×160465489×89856878697433<14>×94803416684681<14>×1512348937147247<16>×3410623284654639440707<22>×5346950541323960232319657<25>×1607792018780394024095514317003<31>×52711923798002218687534164008761<32>×8778523027466598416204656058467252273<37>×97816902852991765949068317084025791019<38>×341782452940154906609821749692729569489<39>×36997287511549004440599388408744754230660993087<47>
4^418+2^418+1=
3×7×67×571×11287×20857×32377×599479×1212847×12471031×160465489×89856878697433<14>×52711923798002218687534164008761<32>×8778523027466598416204656058467252273<37>×97816902852991765949068317084025791019<38>×341782452940154906609821749692729569489<39>×36997287511549004440599388408744754230660993087<47>

最大素因子47位       
4^418+2^418+1等于        4.5822E+251
平方根等于        6.7692E+125
47位的最大素因子小于126位的平方根呀！       
       

太阳

yangchuanju 发表于 2023-5-9 07:16
2^418-1=3·23·89·419·683·174763·524287·94803416684681·1512348937147247·3410623284654639440 ...

你使用那个分解网站？分解完成所有质因数

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2023-5-9 05:35
先生要找大素数，可到4^p+2^p+1之中找一找看看，这里p是素数，不必限定这条件、那条件！

4^a+2^a+1中的 ...

先生要找大素数，可到4^p+2^p+1之中找一找看看，这里p是素数，不必限定这条件、那条件！

4^p+2^p+1的总位数约为2^p-1位数的2倍，它可能是素数，但一般是合数。
如果是素数（例p=3），则它一定大于2^p-1；
如果它是合数，其中的最大素因子也往往大于2^p-1，但无规律可循！
合数4^p+2^p+1总含有素因子7，故二合数（例p=11,23,31等）中的最大素因子一定大于2^p-1了！

p        4^p+2^p+1=(2^3p-1)/(2^p-1)
3        商73
5        商7*151
7        商7^2*337
11        商7*599479
13        商7*79*121369
17        商7*103*2143*11119
19        商7*32377*1212847
23        商7*10052678938039<14>
29        商7*4177*9857737155463<13>
31        商7*658812288653553079<18>
37        商7*321679*26295457*319020217
41        商7*3887047*177722253954175633<18>
43        商7*11053036065049294753459639<26>
47        商7*4375578271<10>*646675035253258729<18>
53        商7*6679*13960201*540701761*229890275929<12>
59        商7*184081*27989941729<11>*9213624084535989031<19>
61        商7*367*55633*37201708625305146303973352041<29>
67        商7*1609*22111*87449423397425857942678833145441<32>
71        商7*66457*2849881972114740679<19>*4205268574191396793<19>
73        商7*3943*671165898617413417<18>*4815314615204347717321<22>
79        商7*1423*49297*23728823512345609279<20>*31357373417090093431<20>
83        商7*1621324657<10>*8241594690167137359552274418432855740327<40>
89        商7*78903841*28753302853087<14>*24124332437713924084267316537353<32>
97        商7*272959*2065304407<10>*5434876633<10>*1170711644777651877659556633665719<34>

分解式中的最后一个因子即最大素因子！

yangchuanju

梅森数2^p-1或是素数，或是素因子个数不是很多的合数（相当于指数是合数的2^n-1而言）；
当p趋近于无穷大时合数2^p-1的素数个数应该是2至无穷多个。

2^3p-1都是合数，位数约为2^p-1的3倍；
(2^3p-1)/(2^p-1)=4^p+2^p+1中都含有素因子7（p=3除外），位数约为2^p-1的2倍；
(4^p+2^p+1)/7可能是素数，也可能是合数；
其中的素数一定大于2^p-1；
当合数中的素数个数不是很多时，其中的最大素因子很可能大于2^p-1，特别是素因子个数等于2时。

如果2^p-1是一个一亿位的素数，则p应大于3亿；
如果(4^p+2^p+1)/7是一个一亿位的素数，则p可能是2亿左右；
如果(4^p+2^p+1)/7是一个一亿位的二合数，则p也要达到3亿左右。

太阳

如果2^p-1是一个一亿位的素数，则p应大于3亿，这个判断错误
假设2^123456789-1含有一亿位的大素数，2^987654321-1不一定含有1亿位的大素数

yangchuanju

太阳 发表于 2023-5-10 08:50
如果2^p-1是一个一亿位的素数，则p应大于3亿，这个判断错误
假设2^123456789-1含有一亿位的大素数，2^9876 ...

太阳先生的对数知识都忘了吗？
如果2^p-1是一个一亿位的素数，则p应大于3亿；
准确的说p=10^8/lg(2)=332192810，大于3亿了吗？

太阳说：“假设2^123456789-1含有一亿位的大素数，2^987654321-1不一定含有1亿位的大素数”
2^123456789-1只有123456789*lg(2)=37164197位，假定不成立！
2^987654321-1不一定含有1亿位的大素数，这一句没有错；但它之中可能含有1亿位素因子或大于1亿位的素因子。

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2023-5-10 11:56
太阳先生的对数知识都忘了吗？
如果2^p-1是一个一亿位的素数，则p应大于3亿；
准确的说p=10^8/lg(2)=33 ...

请问太阳先生：
2^123456789之中含有多少个素因子：
2^123456789以内含有多少个素数？