定点 A,B 位于定直线 L 同侧，求点 P ，使得 PA+PB+PC 最小（PC 是 P 到 L 的距离）

cgl_74

王守恩 发表于 2023-5-11 15:40
我凭直觉解题，解题只图好玩。请你举个反例？谢谢！

你说得太自谦了！
我就随口说一个例子，不知道算不算反例。
A,B点都在L上，显然最短距离就是线段AB的距离。这个距离大于你列出的长度。当然题目要求是AB在L上，你可以取AB点无穷接近L，再把AB点距离拉长即可。

王守恩

\( 主帖图。定点A到定直线 L垂足为M, 定点B到定直线 L垂足为N,\)

若\(BN+AM\geqslant\frac{MN}{\sqrt{3}}\geqslant BN-AM\geqslant0\)

则\(\ PA+PB+PC\ 最小距离\ =\ \frac{AM+BN+MN*\sqrt{3}}{2}\)

从简单算起。
1，正方形(1种情形)。AM=BN=MN=2,  最小距离=2+\(\sqrt{3}\)
2，长方形(2种情形)。AM=BN=2,MN=4, 情形1, 最小距离=2+2\(\sqrt{3}\)  情形2, 最小距离=4+\(\sqrt{3}\)
3，主帖: 直角梯形(4种情形)。
1有反例吗？2有反例吗？3有反例吗？

cgl_74

刷新我的解法。23楼的解法存在一些漏洞。

cgl_74

王守恩 发表于 2023-5-12 18:08
\( 主帖图。定点A到定直线 L垂足为M, 定点B到定直线 L垂足为N,\)

若\(BN+AM\geqslant\frac{MN}{\sqrt{3} ...

你的这个结论，我认为是正确的。
对应我解法中，总结的第5条。这应该也是几何解法费马点可以应用到的场景。

cgl_74

一些案例图形

王守恩

这道题大家要讨论就讨论更清楚。
从 cgl_74 的解法出发，可以解决任意4边形。
想透了任意4边形，回头再来看正方形,长方形,直角梯形就会简单些。
任意4边形(我们取面积最大的那个)。2个相邻角+2个相邻角的对边=1道题目，
1个4边形可以有4道题目。1道题目找1个费马点，4道题目找4个费马点，我们取其中最小的费马点。