λ 是 n 阶方阵 A=(aij) 特征值，a=max{|aij|:1≤i,j≤n}，用 Schur 定理证 |λ|≤na

wilsony

谁能证明？

chenjiahao

根据 Schur 定理，任何一个 n 阶方阵都可以通过相似变换转化为一个上三角矩阵，即存在一个可逆矩阵 P 使得 P^{-1}AP = T，其中 T 是一个上三角矩阵。由于相似变换不改变矩阵的特征值，所以 A 和 T 的特征值相同。

设 T 的主对角线元素为 t1, t2, ..., tn，即 T = (tij)，其中 tij = 0 (i > j)。由于 T 是上三角矩阵，所以它的特征值就是其主对角线元素，即 λ1 = t1, λ2 = t2, ..., λn = tn。

对于任意一个特征值 λ，都存在一个特征向量 x = (x1, x2, ..., xn) 使得 Ax = λx。设 xi 是 x 的第 i 个分量，即 x = (x1, x2, ..., xn)。则有：
|λ| * |xi| = |λxi| = |(Ax)i| ≤ a * sum(|xj|: 1 ≤ j ≤ n)

其中 sum(|xj|: 1 ≤ j ≤ n) 表示向量 x 的所有分量的绝对值之和。因此，我们有
|λ| * max(|xi|) ≤ a * sum(|xj|: 1 ≤ j ≤ n)

因为每个分量 xi 都不超过向量 x 的范数 |x|，所以有：
|λ| * |x| ≤ a * n * |x|

因此，我们有：
|λ| ≤ a * n
即任何一个特征值的绝对值都不超过 a * n

wilsony

谢谢chenjiahao。

luyuanhong

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