复解析几何与解析几何比较有哪些优势

denglongshan

天山草 发表于 2023-5-14 10:10
笛卡尔发明了平面直角坐标系及其解析几何方法，那时候笛老爷还不知道有复数平面这个说法。
所以本人习惯把 ...

这段历史错误，参考：
笛卡尔命名虚数  https://baijiahao.baidu.com/s?id=1746530283845478076&wfr=spider&for=pc
复几何的故事（1）复数的史前史   https://zhuanlan.zhihu.com/p/27544279/

无法用超链接

uk702

这两天尝试用向量法来证明，却实在没想到好招。向量虽然也有内积，和相当于面积的叉乘等运算，但多数情况下并不容易达到消去的效果，即使能够，换成复数通常更加简单，几何意义更加明显。

复数几何的最大优势，我觉得就是天然的的形数结合，且极其流畅，很自然就将一个几何问题转化为一种运算。

两个典型的例子：

一是三个正方形并列，证明三个角的为90°，换成复数语言，就是 Arg((1+i)(2+i)(3+i)) = 90°。

二是托勒密定理，用 a、b、c、d 分别表示四边形顶点 A、B、C、D 的复数，则 AB、CD、AD、BC、AC、BD 的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。

首先注意到复数恒等式：

1. (a-b)(c-d) + (a-d)(b-c) = (a-c)(b-d)

复制代码

两边取模，运用三角不等式得。

等号成立的条件是 (a-b)(c-d) 与 (a-d)(b-c) 的辐角相等，这与 A、B、C、D 四点共圆等价。


这个例子实在太妙，将代数的优势表现得淋漓尽致，充分展示了代数的灵活技巧，就套路而言，也更加成熟和工具化。


我觉得解析几何除了解方程，能够赋予几何意义的“几何量运算”很少，斜率我觉得只能算半个，斜率似很少用来运算。


笛卡尔的解析几何是开创了几何代数化的时代，体现了代数的暴力，而复数几何则充分体现了数与形的“和谐”。

creasson

复数的表示通常形式更简单、运算更便捷。 对于绝大部分初等几何命题，复数法，解析法，重心坐标，向量法，这几者其实并没有很明显的差异，内核都是一样， 且可相互转换。但在某些方面,  复数有着显著的优势：
1. 反演变换：可分解为反射变换+复数分式线性变换的表示， 其他表示显得繁琐。一般的保形变换有着更广泛的应用。
2. 解析延拓：可以拓广一些几何命题,  例如蝴蝶定理拓广至圆外情形， 其他表示几无可能。
3. 彭赛列闭合的一些相关命题，需要用到椭圆函数论， 这是其他表示无法解决的。
说到数形结合，其实向量更能体现一些，这也是张景中、彭翕成等推广点几何的原因。

denglongshan

uk702 发表于 2023-5-16 08:15
这两天尝试用向量法来证明，却实在没想到好招。向量虽然也有内积，和相当于面积的叉乘等运算，但多数情况下 ...

李洪波的论文认为坐标没有几何意义，有待商榷。因为坐标系下的坐标是复数的两个垂直分量，不过对于多数几何定理，例如你提到的托勒密不等式，显然用坐标是困难的，但还是可以发现。

denglongshan

这篇文章认为复数乘法没有几何意义。共形几何代数看不懂
与坐标比较，复数两条明显优点是：
       角度和差复斜率表示更简单，垂足和对称点也是