对于任意 x∈R ，有 f(x+5)=f(x)+5 ，则必有 f(x)=x 吗？怎么证明？

H2L

对于任意x∈R，有f(x+5)=f(x)+5，则必有f(x)=x吗，怎么证明

luyuanhong

任何形式为 f(x)=x+C （C∈R）的函数都满足 f(x+5)=f(x)+5 。

H2L

luyuanhong 发表于 2023-5-14 00:28
任何形式为 f(x)=x+C （C∈R）的函数都满足 f(x+5)=f(x)+5 。

对哦 谢谢老师

tmduser

对方程两边求导，可得：
f ' (x+5) = f ' (x)
也就是说 f '(x)是一个以5为周期的周期函数。
因此f(x)在一个基本周期[0, 5]内，只须满足边界条件：
f(5)=f(0)+5即可，并无其它约束，
在其它周期[5n, 5n+5]内，满足：
f(x+5n)=f(x)+5n 即可，图形为阶梯状。
注：f(x)无连续性要求，可以是不连续的。

luyuanhong

题  已知对于任意 x∈R ，有 f(x+5)=f(x)+5 ，问：是否必有 f(x)=x ？

解  对 f(x+5)=f(x)+5 的两边，同时求一阶导数，得 f ' (x+5)=f ' (x) 。

     可见，f ' (x) 是一个周期为 5 的周期函数。

     对这样一个周期函数 f ' (x) 积分后，可知 f(x) 是一个下列形式的函数：

    f(x)=kx+φ(x) ，其中 k 是一个常系数，φ(x) 是一个周期为 5 的周期函数。

   用 x+5 代入 x 的位置，得 f(x+5)=k(x+5)+φ(x+5) 。

   因为 f(x+5)=f(x)+5 ，所以有

  5=f(x+5)-f(x)=k(x+5)+φ(x+5)-kx-φ(x)=5k ，即有  k=1 。

  由此可见，符合本题要求的 f(x) 的一般形式为：

   f(x)=x+φ(x) ，其中 φ(x) 可以是任何一个周期为 5 的周期函数。

Future_maths

怎么知道f(x)的导数存在？

cgl_74

论坛上有过一些类似的题目，难度比这个要大一些。感觉这类题目与代数的群论相关，可以解决一些普遍性的问题。
具体到这个题目，也可以用基础的代数方法解出来。
f(x)的全解，是可以描述出来的：
1、设g(x)是一个任意的函数，其中x的定义域为[0, 5)；注意区间为左闭右开。
2、符合f(x+5) = f(x) +5这个映射规则的函数可以拓展g(x)构造出来：
对于任意实数x，必能表示为唯一的形式：x = x0 + 5*i；其中x0位于区间[0, 5), i为整数。
令f(x) = g(x0) + 5*i；那么整个实数域的f(x)函数就被构造出来。
3、易证，构造出的函数f(x)满足f(x+5) = f(x) +5这个映射规则；而且任意满足f(x+5) = f(x) +5这个映射规则的函数，必能通过步骤2的方式构造出来。

比如，可以令g(x)是一个处处不连续的函数：
g(x)=0，当x为有理数时；g(x) = 1, 当x为无理数时。x区间为[0, 5)。按照步骤2构造出一个全实数域的f(x), 也是一个处处不连续的函数。

cgl_74

注：4楼，5楼给的解，不是全解。
特别是5楼陆老师给的一般形式的解，是不对的。

cgl_74

再啰嗦几句：我们平时常见的函数，都叫初等函数，以及初等函数通过初等方法构造出的复合函数，一般是连续可导的。
但实际函数映射可以任意指定的。初等函数只是函数的很小一部分。比如存在处处不连续的函数，处处连续但处处不可导的函数。
当然，初等函数可以通过无穷次运算（如无穷级数），可以构造出很多奇怪的函数，超出一般人想象。
所以，如果只是根据一般的映射规则，想求出一个具体的函数，是很难的。一个是很难证明，但同时证伪也不一定容易，因为去符合指定规则的函数的构造也没有那么容易。

黄绪励

这题的结论是错的，举一反例即可。令f(x）=x+1。 满足f(x+5)=(x+5)+1=(x+1)+5=f(x)+5
但  f(x)不等于x